Les équations logarithmiques sont des équations dans lesquelles une variable est présente en tant qu’exposant d’un logarithme. Ceci signifie que la solution de l’équation nécessite de résoudre l’exponentielle correspondante. Dans cet article, nous allons discuter de quelques exercices sur les équations logarithmiques et expliquer comment les résoudre.

Avant de commencer avec les exercices, il est important de comprendre les propriétés des logarithmes. Les logarithmes sont l’opération inverse des exponentielles. Cela signifie que si l’on a une expression de la forme log_b(a) = c, on peut la réécrire sous la forme b^c = a. Les logarithmes sont utiles lorsque l’on souhaite résoudre des équations dans lesquelles la variable est présente en tant qu’exposant.

Revenons maintenant aux exercices sur les équations logarithmiques.

Exercice 1 : Résoudre l’équation log_2(x) = 3.

Pour résoudre cette équation, on peut réécrire l’équation sous la forme 2^3 = x. Cela signifie que x = 8.

Exercice 2 : Résoudre l’équation log_5(x) = 2.

Pour résoudre cette équation, on peut réécrire l’équation sous la forme 5^2 = x. Cela signifie que x = 25.

Exercice 3 : Résoudre l’équation log_10(2x + 1) = 1.

Pour résoudre cette équation, on réécrit l’équation sous la forme 10^1 = 2x + 1. Cela signifie que 2x + 1 = 10. On résout cette équation en isolant x : 2x = 10 – 1 = 9. Donc x = 9/2.

Exercice 4 : Résoudre l’équation log_3(x+1) – log_3(2x-1) = 1.

Pour résoudre cette équation, on peut combiner les logarithmes à l’aide des propriétés des logarithmes. On a log_3[(x+1)/(2x-1)] = 1. On réécrit cette équation sous la forme 3^1 = (x+1)/(2x-1). Cela signifie que 3 = (x+1)/(2x-1). On résout cette équation en isolant x : 3(2x-1) = x+1. Donc 6x – 3 = x + 1. On isole x : 6x – x = 1 + 3. Donc 5x = 4. Donc x = 4/5.

Exercice 5 : Résoudre l’équation log_2(x+3) + log_2(x-1) = 3.

Pour résoudre cette équation, on peut combiner les logarithmes à l’aide des propriétés des logarithmes. On a log_2[(x+3)(x-1)] = 3. On réécrit cette équation sous la forme 2^3 = (x+3)(x-1). Cela signifie que 8 = (x+3)(x-1). On résout cette équation : x^2 + 2x – 3 = 8. Donc x^2 + 2x – 11 = 0. On résout cette équation à l’aide du discriminant : Δ = 2^2 – 4 (1)(-11) = 4 + 44 = 48. On a donc deux solutions possibles : x = (-2 + √48)/2 = (-2 + 4√3)/2 = -1 + 2√3 et x = (-2 – √48)/2 = (-2 – 4√3)/2 = -1 – 2√3.

Ces exercices sur les équations logarithmiques illustrent quelques techniques de résolution. Il est important de comprendre les propriétés des logarithmes et d’être à l’aise dans la manipulation des équations exponentielles pour résoudre ces types d’équations.

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