Exercices sur les équations logarithmiques

Mais tout d’abord, qu’est-ce qu’une équation logarithmique ? Une équation logarithmique est une équation dans laquelle l’inconnue se trouve à l’intérieur d’un logarithme. Par exemple, voici une équation logarithmique simple : log(x) = 3. Pour résoudre cette équation, nous devons isoler x. Pour cela, nous devons appliquer les règles des logarithmes.

Reprenons notre exemple, log(x) = 3. Pour se débarrasser du logarithme, nous devons élever les deux côtés de l’équation à la base appropriée. La base la plus courante est 10, mais d’autres bases, comme la base naturelle e, peuvent également être utilisées. En élevant les deux côtés de l’équation à la base 10, nous obtenons :

10^(log(x)) = 10^3.

Le logarithme et l’exponentiation inverse s’annulent mutuellement, nous obtenons donc :

x = 10^3.

Ainsi, la solution de l’équation log(x) = 3 est x = 1000.

Maintenant que nous avons revu les bases, passons à des exercices plus complexes. Considérons l’équation logarithmique suivante : log(x-2) + log(x+3) = log(30). Ici, nous avons deux termes logarithmiques additionnés. Pour résoudre cette équation, nous devons utiliser la propriété du log d’un produit, qui dit que log(a)+log(b) = log(a*b).

En utilisant cette propriété, nous pouvons réécrire l’équation précédente : log((x-2)*(x+3)) = log(30). Les logarithmes des deux côtés sont égaux, donc nous pouvons égaliser les termes à l’intérieur des logarithmes :

(x-2)*(x+3) = 30.

Maintenant, nous avons une équation quadratique. Nous pouvons développer l’expression de gauche, puis la réorganiser pour obtenir une équation égale à zéro :

x^2 + x – 36 = 0.

À ce stade, nous pouvons résoudre cette équation quadratique à l’aide de méthodes telles que la factorisation, la complétion du carré ou la formule quadratique. Supposons que nous trouvions les solutions x = 5 et x = -6.

Cependant, nous devons prendre en compte les restrictions des logarithmes. Les logarithmes ne peuvent être définis que pour des valeurs strictement positives, donc x = -6 est une solution extraterrestre. Par conséquent, la seule solution valable pour notre équation logarithmique est x = 5.

Les exercices sur les équations logarithmiques peuvent être de plus en plus complexes, mais les mêmes principes de base s’appliquent. Il est important de connaître les différentes propriétés des logarithmes et de les exploiter pour simplifier l’équation.

Une autre équation logarithmique courante est l’équation exponentielle sous forme logarithmique, qui est de la forme a^x = b. Pour résoudre cette équation, nous devons prendre le logarithme des deux côtés de l’équation et appliquer les propriétés des logarithmes. Par exemple, pour résoudre l’équation 2^x = 16, nous prenons le logarithme base 2 des deux côtés :

log(2^x) = log(16).

L’utilisation de la propriété du log de la puissance nous permet de simplifier :

x * log(2) = log(16).

Ensuite, nous pouvons isoler x en divisant par log(2) :

x = log(16)/log(2).

Nous pouvons utiliser une calculatrice pour trouver une valeur décimale approximative, x ≈ 4.

En conclusion, les équations logarithmiques sont des concepts mathématiques complexes mais essentiels. Pour résoudre ces équations, il est important de maîtriser les propriétés des logarithmes et de les utiliser correctement. Les exercices sur les équations logarithmiques peuvent être résolus en appliquant les règles de base dans des situations de plus en plus complexes. La pratique régulière de ces exercices contribuera à renforcer la compréhension de ces concepts et facilitera leur application dans d’autres domaines des mathématiques et des sciences.