Le théorème de Ruffini est l’un des outils fondamentaux en algèbre. Il a été développé par Paolo Ruffini au début du XIXe siècle et est essentiel pour la division des polynômes. Dans cet article, nous allons nous concentrer sur les exercices pratiques pour comprendre et appliquer le théorème de Ruffini.

Avant de commencer, rappelons brièvement ce qu’est le théorème de Ruffini. Il s’agit d’une méthode permettant de diviser un polynôme par un binôme de la forme (x – a). Cette méthode simplifie grandement la division des polynômes et permet d’obtenir facilement le quotient et le reste.

Pour appliquer le théorème de Ruffini, nous devons suivre quelques étapes clés. Tout d’abord, nous devons réorganiser le polynôme de manière à ce que les termes soient ordonnés par puissances décroissantes de x. Ensuite, nous divisons le premier terme par le binôme (x – a). Le résultat obtenu sera le premier terme du quotient. Ensuite, nous multiplions ce premier terme par le binôme (x – a) et soustrayons le produit du polynôme original. Répétez ces étapes jusqu’à ce que nous n’ayons plus de termes pour diviser.

Voyons maintenant quelques exemples pour mieux comprendre comment appliquer le théorème de Ruffini.

Exemple 1 :
Divisons le polynôme P(x) = 3x^3 – 2x^2 + 5x – 6 par le binôme (x – 2).

Étape 1 : Réorganisons le polynôme en ordre décroissant de puissances de x.
P(x) = 3x^3 – 2x^2 + 5x – 6

Étape 2 : Divisons le premier terme par (x – 2).
3x^3 / (x – 2) = 3x^2

Étape 3 : Multiplions 3x^2 par (x – 2) et soustrayons le résultat de P(x).
(3x^2)(x – 2) = 3x^3 – 6x^2
P(x) – (3x^3 – 6x^2) = -4x^2 + 5x – 6

Étape 4 : Répétons les étapes précédentes avec -4x^2 + 5x – 6.

(-4x^2) / (x – 2) = -4x

(-4x)(x – 2) = -4x^2 + 8x
(-4x^2 + 5x – 6) – (-4x^2 + 8x) = 3x – 6

Étape 5 : Divisons 3x – 6 par (x – 2).
(3x – 6) / (x – 2) = 3

Le quotient final est donc 3x^2 – 4x + 3 et le reste est égal à 3.

Exemple 2 :
Divisons le polynôme P(x) = 2x^4 – 7x^3 + 4x^2 + 6x – 8 par le binôme (x + 1).

Étape 1 : Réorganisons le polynôme en ordre décroissant de puissances de x.
P(x) = 2x^4 – 7x^3 + 4x^2 + 6x – 8

Étape 2 : Divisons le premier terme par (x + 1).
2x^4 / (x + 1) = 2x^3

Étape 3 : Multiplions 2x^3 par (x + 1) et soustrayons le résultat de P(x).
(2x^3)(x + 1) = 2x^4 + 2x^3
P(x) – (2x^4 + 2x^3) = -9x^3 + 4x^2 + 6x – 8

Étape 4 : Répétons les étapes précédentes avec -9x^3 + 4x^2 + 6x – 8.

(-9x^3) / (x + 1) = -9x^2

(-9x^2)(x + 1) = -9x^3 – 9x^2
(-9x^3 + 4x^2 + 6x – 8) – (-9x^3 – 9x^2) = 13x^2 + 6x – 8

Étape 5 : Divisons 13x^2 + 6x – 8 par (x + 1).
(13x^2 + 6x – 8) / (x + 1) = 13x

Le quotient final est donc 2x^3 – 9x^2 + 13x et le reste est égal à 0, car nous avons exactement divisé tous les termes.

En conclusion, le théorème de Ruffini est un outil puissant pour la division des polynômes. Il facilite le processus de division et permet d’obtenir rapidement le quotient et le reste. La pratique d’exercices sur ce théorème est essentielle pour le maîtriser et l’appliquer efficacement.

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