Les mathématiques sont une discipline qui nécessite de la pratique régulière pour être maîtrisée. Parmi les nombreux concepts mathématiques, le plus petit commun multiple (PPCM) et le plus grand diviseur commun (PGCD) jouent un rôle essentiel dans de nombreux problèmes mathématiques. Afin de mieux comprendre ces notions, nous vous proposons une série d’exercices pratiques.

I. Exercices sur le PPCM

1. Calcul du PPCM de deux nombres : Nous commencerons par le calcul du PPCM de deux nombres. Soient les nombres 12 et 18. Trouvez le PPCM de ces deux nombres.

Solution : Commencez par écrire la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre.
12 = 2² x 3
18 = 2 x 3²

Le PPCM est le produit des facteurs premiers avec leurs puissances maximales.
PPCM(12, 18) = 2² x 3² = 36

Ainsi, le PPCM de 12 et 18 est égal à 36.

2. Calcul du PPCM de trois nombres : Passons maintenant au calcul du PPCM de trois nombres. Soient les nombres 4, 6 et 8. Trouvez le PPCM de ces trois nombres.

Solution : À nouveau, écrivons la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre.
4 = 2²
6 = 2 x 3
8 = 2³

Le PPCM est le produit des facteurs premiers avec leurs puissances maximales.
PPCM(4, 6, 8) = 2³ x 3 = 24

Ainsi, le PPCM de 4, 6 et 8 est égal à 24.

II. Exercices sur le PGCD

1. Calcul du PGCD de deux nombres : Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise tous les deux. Soient les nombres 18 et 24. Trouvez le PGCD de ces deux nombres.

Solution : Écrivez les décompositions en facteurs premiers de chaque nombre.
18 = 2 x 3²
24 = 2³ x 3

Le PGCD est le produit des facteurs premiers avec leurs puissances minimales.
PGCD(18, 24) = 2 x 3 = 6

Ainsi, le PGCD de 18 et 24 est égal à 6.

2. Calcul du PGCD de trois nombres : Passons maintenant au calcul du PGCD de trois nombres. Soient les nombres 24, 36 et 48. Trouvez le PGCD de ces trois nombres.

Solution : Encore une fois, écrivez les décompositions en facteurs premiers de chaque nombre.
24 = 2³ x 3
36 = 2² x 3²
48 = 2⁴ x 3

Le PGCD est le produit des facteurs premiers avec leurs puissances minimales.
PGCD(24, 36, 48) = 2² x 3 = 12

Ainsi, le PGCD de 24, 36 et 48 est égal à 12.

III. Exercices combinés

Maintenant que nous avons pratiqué le calcul du PPCM et du PGCD séparément, nous allons combiner les deux concepts. Soient les nombres 12, 18 et 24. Trouvez le PPCM et le PGCD de ces trois nombres.

Solution :
Décomposition en facteurs premiers de chaque nombre :
12 = 2² x 3
18 = 2 x 3²
24 = 2³ x 3

Le PPCM est le produit des facteurs premiers avec leurs puissances maximales.
PPCM(12, 18, 24) = 2³ x 3² = 72

Le PGCD est le produit des facteurs premiers avec leurs puissances minimales.
PGCD(12, 18, 24) = 2 x 3 = 6

Ainsi, le PPCM de 12, 18 et 24 est égal à 72 et leur PGCD est égal à 6.

En pratiquant régulièrement ces exercices, vous développerez vos compétences en matière de PPCM et de PGCD. Ces concepts sont essentiels pour résoudre des problèmes mathématiques plus complexes, tels que la simplification de fractions ou la résolution d’équations. Alors, continuez à vous exercer et à faire de nombreux calculs pour devenir un expert en mathématiques !

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