Les exercices sur le carré du binôme sont très fréquents en mathématiques. Ils permettent de consolider les connaissances sur les puissances et les développements algébriques. Dans cet article, nous allons aborder quelques exercices sur le carré du binôme.

Avant de commencer, il est important de rappeler ce qu’est le carré du binôme. Le carré du binôme (a + b)² est égal à a² + 2ab + b². Ce terme est souvent utilisé lorsqu’il s’agit de développer une expression du type (a + b)².

Le premier exercice que nous allons aborder est le développement du carré du binôme (x + 3)². Pour effectuer ce développement, il faut appliquer la formule a² + 2ab + b². Dans notre cas, a est égal à x et b est égal à 3. En remplaçant ces valeurs, nous obtenons le développement suivant :

(x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3²
(x + 3)² = x² + 6x + 9

Le résultat final est donc x² + 6x + 9.

Le deuxième exercice que nous allons aborder est un peu plus complexe. Il s’agit du développement du carré du binôme (2a – 5b)². Dans ce cas, a est égal à 2a et b est égal à -5b. Le développement de ce carré se fait de la même manière que précédemment :

(2a – 5b)² = (2a)² + 2(2a)(-5b) + (-5b)²
(2a – 5b)² = 4a² – 20ab + 25b²

Le résultat final est donc 4a² – 20ab + 25b².

Le troisième exercice que nous allons aborder est un exercice d’application du développement du carré du binôme. Supposons que nous voulions calculer le carré de (x + 2)². Au lieu de développer ce carré à partir de la formule, nous pouvons utiliser le carré du binôme déjà développé précédemment, c’est-à-dire (x + 2)² = x² + 4x + 4.

Ainsi, le carré de (x + 2)² est égal à (x² + 4x + 4)². Pour simplifier ce carré, nous devons développer les produits des termes entre eux. Le résultat final sera une expression polynomiale.

(x + 2)² = (x² + 4x + 4)(x² + 4x + 4)
(x + 2)² = x²(x² + 4x + 4) + 4x(x² + 4x + 4) + 4(x² + 4x + 4)

En développant chaque produit, nous obtenons :

(x + 2)² = x^4 + 4x³ + 4x² + 4x³ + 16x² + 16x + 4x² + 16x + 16
(x + 2)² = x^4 + 8x³ + 20x² + 32x + 16

Le résultat final est donc x^4 + 8x³ + 20x² + 32x + 16.

Les exercices sur le carré du binôme sont très importants pour comprendre les développements algébriques et les puissances. Ils permettent également de consolider les connaissances en calcul algébrique. Il est recommandé de faire régulièrement ce genre d’exercices pour bien maîtriser ce concept.

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