Exercices sur la résolution des inégalités avec les radicaux

Pour bien comprendre comment résoudre ces inégalités, il est essentiel de connaître les propriétés des radicaux. Plus précisément, il faut se familiariser avec la notion de valeur absolue et sa relation avec les radicaux.

Prenons un exemple concret pour illustrer cela. Supposons que nous devons résoudre l’inégalité suivante : √(x+1) < 2. La première étape consiste à isoler le radical. Nous devons donc soustraire 1 des deux côtés de l'inégalité pour obtenir : √(x+1) - 1 < 2 - 1, ce qui nous donne √(x+1) -1 < 1. Ensuite, nous devons élever chaque membre de l'inégalité au carré pour éliminer le radical. Cependant, il faut garder à l'esprit que lorsqu'on élève une équation ou une inégalité au carré, il peut y avoir une possibilité de fausse solution. Dans cet exemple, cela n'aura pas d'impact car nous ne manipulons que des radicaux positifs. Ainsi, nous obtenons ( √(x+1) -1 )² < 1², ce qui donne (x+1) -2√(x+1) + 1 < 1. Cette expression simplifiée peut être réorganisée pour former une équation quadratique, en rassemblant les termes similaires : x + 2 - 2√(x+1) < 1. Ensuite, nous devons isoler le terme contenant le radical. Dans cet exemple, cela signifie que nous devons soustraire x de chaque côté de l’inégalité, ce qui donne 2 – 2√(x+1) < 1 - x. Nous arrivons alors à -x -2√(x+1) + 2 < 1. La prochaine étape consiste à isoler le radical. Nous devons donc soustraire 2 des deux côtés, ce qui nous donne -x - 2 < 1 - 2√(x+1). Nous réorganisons cette expression pour obtenir -x - 1 < -2√(x+1). Maintenant, nous devons diviser chaque membre de l'inégalité par -1. Il est important de noter que lorsqu'on divise une inégalité par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité. Ainsi, nous obtenons : x + 1 > 2√(x+1).

Enfin, pour obtenir la solution de l’inégalité originale, nous devons isoler le radical en divisant chaque membre de l’inégalité par 2. Cependant, nous devons encore inverser le sens de l’inégalité car nous divisons par un nombre positif.

Ainsi, nous obtenons : (x + 1)/2 > √(x+1).

Maintenant, nous pouvons résoudre cette dernière inégalité à l’aide des propriétés des radicaux. Nous prenons le carré des deux côtés pour éliminer le radical : ((x + 1)/2)² > (√(x+1))².

Cela donne (x + 1)²/4 > x+1.

En multipliant chaque membre de l’inégalité par 4 pour éliminer le dénominateur, nous obtenons (x + 1)² > 4(x+1).

En développant cette expression, nous arrivons à x² + 2x + 1 > 4x + 4.

En simplifiant cette équation quadratique, nous obtenons x² – 2x – 3 > 0.

Nous pouvons maintenant résoudre cette inégalité en factorisant l’expression : (x-3)(x+1) > 0.

La solution de cette inégalité est x > 3 ou x < -1. En résumé, la résolution des inégalités avec des radicaux peut sembler complexe au premier abord, mais en utilisant les propriétés des radicaux et en manipulant les équations étape par étape, il est possible de trouver la solution. Il est important de garder à l'esprit les règles de manipulation des inégalités et de faire attention aux éventuelles fausses solutions lors de l'élévation au carré.