Les inégalités avec des modules font partie des concepts fondamentaux de l’algèbre. Elles sont souvent étudiées dans les cours de mathématiques au collège et au lycée. Résoudre ce type d’inégalités nécessite une bonne compréhension des propriétés des modules et des techniques appropriées. Dans cet article, nous allons présenter quelques exercices pour vous aider à vous familiariser avec la résolution des inégalités avec des modules.

Avant d’aborder les exercices, il est important de rappeler les bases des modules. Le module d’un nombre réel est une façon de mesurer sa distance par rapport à zéro. Par exemple, le module de 5 est 5, tandis que le module de -3 est 3. Le module d’un nombre réel peut donc être défini positivement ou nul.

Commençons par un exercice simple. Trouvez tous les réels x tels que |x – 2| ≥ 3. Pour résoudre cette inégalité, nous pouvons commencer par écrire deux expressions équivalentes : x – 2 ≥ 3 et x – 2 ≤ -3. En résolvant ces deux inégalités, nous obtenons x ≥ 5 et x ≤ -1. Par conséquent, la solution de cette inégalité est l’ensemble des réels x tels que x ≤ -1 ou x ≥ 5.

Continuons avec un exercice un peu plus compliqué. Trouvez tous les réels x tels que |2x + 1| < 4. Pour résoudre cette inégalité, nous devons examiner deux cas : lorsque 2x + 1 est positif et lorsque 2x + 1 est négatif. Dans le premier cas, lorsque 2x + 1 est positif, nous avons 2x + 1 < 4. En résolvant cette inégalité, nous obtenons x < 3/2. Dans le deuxième cas, lorsque 2x + 1 est négatif, nous avons -(2x + 1) < 4. En résolvant cette inégalité, nous obtenons x > -5/2.

Par conséquent, la solution de cette inégalité est l’ensemble des réels x tels que -5/2 < x < 3/2. Terminons avec un exercice avancé. Trouvez tous les réels x tels que |x - 3| + |x + 2| ≤ 7. Pour résoudre cette inégalité, nous devons examiner plusieurs cas, en fonction des différentes combinaisons de signes de x - 3 et x + 2. Lorsque x - 3 est positif et x + 2 est positif, nous avons x - 3 + x + 2 ≤ 7, ce qui donne 2x - 1 ≤ 7. En résolvant cette inégalité, nous obtenons x ≤ 4. Lorsque x - 3 est positif et x + 2 est négatif, nous avons x - 3 - (x + 2) ≤ 7, ce qui donne -1 ≤ 7. Cette inégalité est toujours vraie, quelle que soit la valeur de x. Lorsque x - 3 est négatif et x + 2 est positif, nous avons -(x - 3) + (x + 2) ≤ 7, ce qui donne 5 ≤ 7. Cette inégalité est également toujours vraie. Enfin, lorsque x - 3 est négatif et x + 2 est négatif, nous avons -(x - 3) - (x + 2) ≤ 7, ce qui donne -2x + 1 ≤ 7. En résolvant cette inégalité, nous obtenons x ≥ -3. Par conséquent, la solution de cette inégalité est l'ensemble des réels x tels que -3 ≤ x ≤ 4. En conclusion, la résolution des inégalités avec des modules peut sembler intimidante au premier abord, mais avec un peu de pratique et de compréhension des propriétés des modules, cela devient plus accessible. Les exercices présentés dans cet article vous donnent un aperçu des différentes techniques utilisées pour résoudre ces types d'inégalités. N'hésitez pas à continuer à vous entraîner pour renforcer vos compétences en résolution d'inégalités avec des modules.

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