Les équations fractionnaires sont un type d’équations mathématiques qui contiennent des fractions. Elles peuvent être assez complexes à résoudre, mais en comprenant bien les étapes, il est possible de trouver des solutions précises. Dans cet article, nous allons nous intéresser aux équations fractionnaires, en particulier aux solutions systèmes.

Une équation fractionnaire peut être définie comme une équation où une ou plusieurs inconnues apparaissent sous forme de fractions. Par exemple, considérons l’équation suivante :

(3/x) + (4/y) = 5

Dans cette équation, les inconnues sont x et y. Notre objectif est de trouver les valeurs de x et y qui satisferont l’équation. Pour résoudre cette équation, nous devons éliminer les fractions en multipliant chaque terme par le dénominateur commun, qui est xy dans ce cas.

En multipliant tous les termes par xy, nous obtenons :

3y + 4x = 5xy

Maintenant, nous avons une équation linéaire à résoudre. Nous pouvons utiliser différentes méthodes pour résoudre cette équation, comme la substitution ou la méthode de substitution.

Prenons un autre exemple pour mieux comprendre. Soit l’équation suivante :

(1/(x+1)) + (1/(y+2)) = 2

Dans cette équation, nous avons deux inconnues : x et y. Nous pouvons commencer par multiplier tous les termes par (x+1)(y+2), qui est le dénominateur commun.

(x+1)(y+2) * (1/(x+1)) + (x+1)(y+2) * (1/(y+2)) = 2(x+1)(y+2)

Après avoir simplifié les termes, nous obtenons :

y+2 + x+1 = 2xy + 4x + 2y + 4

Nous pouvons maintenant regrouper les termes semblables :

2x – 2xy – y + 4 = 0

Nous obtenons alors une équation quadratique. Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser les méthodes habituelles, comme la factorisation ou la méthode du discriminant. Une fois que nous avons trouvé les solutions pour x et y, nous pouvons les substituer dans l’équation fractionnaire d’origine pour vérifier si elles sont correctes.

La résolution de systèmes d’équations fractionnaires peut être plus compliquée. Lorsque nous avons plusieurs équations avec différentes inconnues, nous devons les combiner pour trouver des solutions communes. Une méthode couramment utilisée pour résoudre les systèmes d’équations est la méthode de substitution.

Prenons un système d’équations fractionnaires simple pour illustrer cette méthode :

(1/x) + (1/y) = 2
(2/x) + (3/y) = 7

Nous pouvons résoudre ce système d’équations en utilisant la méthode de substitution. Dans la première équation, isolons x en termes de y :

1/x = 2 – (1/y)
x = 1/(2 – (1/y))

Maintenant, nous pouvons substituer cette expression dans la deuxième équation :

(2/(1/(2 – (1/y)))) + (3/y) = 7

Après simplification des termes, nous obtenons une équation linéaire :

4 – (2/y) + (3/y) = 7

Puisque les termes (2/y) et (3/y) ont le même dénominateur, nous pouvons les simplifier :

(4 + 1)/y = 7
5/y = 7

Maintenant, nous pouvons résoudre cette équation pour trouver la valeur de y :

y = 5/7

Nous pouvons ensuite substituer cette valeur dans l’équation x = 1/(2 – (1/y)) pour trouver la valeur de x :

x = 1/(2 – (1/(5/7)))
x = 1/(2 – (7/5))
x = 1/(3/5)
x = 5/3

Ainsi, les solutions du système d’équations fractionnaires sont x = 5/3 et y = 5/7.

En conclusion, les équations fractionnaires peuvent être résolues en éliminant les fractions et en simplifiant l’équation. Lorsque nous avons un système d’équations, nous pouvons utiliser différentes méthodes pour résoudre les équations et trouver des solutions précises. En comprenant bien les étapes, il est possible de résoudre les équations fractionnaires de manière efficace et précise.

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