L’équation linéaire est un concept fondamental en mathématiques qui revient souvent dans différents domaines tels que l’algèbre, la physique ou l’économie. Elle est utilisée pour représenter des relations linéaires entre plusieurs variables inconnues.

Une équation linéaire peut être exprimée sous la forme ax + by + cz +… = d, où a, b, c,… sont les coefficients des variables x, y, z,… et d est une constante. Chaque terme de l’équation représente un produit entre le coefficient et la variable correspondante. L’objectif est de trouver les valeurs des variables inconnues qui satisferont à l’équation.

Pour résoudre une équation linéaire, il existe plusieurs techniques. La méthode la plus courante est celle de substitution, qui consiste à isoler une des variables de l’équation et à substituer sa valeur dans les autres équations. Par exemple, considérons le système d’équations linéaires suivan :

2x + 3y = 12,
4x – 2y = 2.

Pour résoudre ce système, on peut isoler la variable x dans la première équation :

2x = 12 – 3y,
x = 6 – 1.5y.

Ensuite, on substitue cette valeur de x dans la deuxième équation :

4(6 – 1.5y) – 2y = 2,
24 – 6y – 2y = 2,
-8y = -22,
y = 11/4.

Maintenant que nous avons trouvé la valeur de y, nous pouvons substituer cette valeur dans l’une des équations pour trouver la valeur correspondante de x. Par exemple, en substituant y = 11/4 dans la première équation, nous obtenons :

2x + 3(11/4) = 12,
2x + 33/4 = 12,
2x = 12 – 33/4,
2x = 57/4,
x = 57/8.

La solution du système d’équations est donc x = 57/8 et y = 11/4.

Une autre méthode de résolution des équations linéaires est la méthode d’élimination. Cette technique consiste à ajouter ou soustraire des équations du système de telle sorte que certaines variables soient éliminées. Reprenons le même système d’équations et utilisons cette méthode pour le résoudre :

2x + 3y = 12,
4x – 2y = 2.

Multiplions la deuxième équation par 2 pour éliminer le terme y :

2(4x – 2y) = 2(2),
8x – 4y = 4.

Ensuite, soustrayons cette nouvelle équation de la première équation :

(2x + 3y) – (8x – 4y) = 12 – 4,
2x + 3y – 8x + 4y = 8,
-6x + 7y = 8.

Maintenant, nous avons une seule équation avec une seule variable, ce qui facilite la résolution. Isolons y :

7y = 8 + 6x,
y = (8 + 6x)/7.

En substituant cette valeur de y dans l’une des équations initiales, nous pouvons obtenir la valeur correspondante de x. Par exemple, en substituant y = (8 + 6x)/7 dans la première équation, nous avons :

2x + 3((8 + 6x)/7) = 12.

Après avoir simplifié et résolu cette équation, nous obtiendrons la valeur de x, puis nous pourrons trouver y en utilisant la relation y = (8 + 6x)/7.

En conclusion, les équations linéaires font partie intégrante des mathématiques et ont de nombreuses applications pratiques. Elles permettent de résoudre des problèmes dans divers domaines en identifiant les relations linéaires entre différentes variables. La résolution des équations linéaires peut se faire à l’aide de méthodes telles que la substitution ou l’élimination, qui permettent de trouver les valeurs des variables inconnues satisfaisant à l’équation.

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