L’équation du cercle passant par trois points est une formule mathématique utilisée pour trouver l’équation d’un cercle qui passe par trois points donnés dans un plan. Cette équation est essentielle pour déterminer les caractéristiques géométriques d’un cercle et pour résoudre divers problèmes mathématiques et géométriques.

Pour comprendre l’équation du cercle passant par trois points, il est important de connaître quelques notions fondamentales de la géométrie. Tout d’abord, il faut savoir que le cercle est défini par l’ensemble de tous les points équidistants d’un point central appelé le centre. En d’autres termes, la distance entre le centre du cercle et n’importe quel point du cercle est constante.

Pour trouver l’équation du cercle passant par trois points donnés, il faut exploiter cette notion de distance constante. Supposons que les trois points soient A, B et C. La distance entre le point A et le centre du cercle est égale à la distance entre le point B et le centre, ainsi qu’à la distance entre le point C et le centre.

Pour simplifier les calculs, on peut placer le centre du cercle à un point hypothétique (h, k), où h représente les coordonnées x du centre et k représente les coordonnées y. Les coordonnées des points A, B et C seront alors (x₁, y₁), (x₂, y₂) et (x₃, y₃) respectivement.

En utilisant la formule de distance entre deux points dans un plan, on peut écrire :

√((x₁ – h)² + (y₁ – h)²) = √((x₂ – h)² + (y₂ – h)²) = √((x₃ – h)² + (y₃ – h)²)

Pour simplifier davantage, on peut élever les deux côtés de l’équation au carré :

(x₁ – h)² + (y₁ – k)² = (x₂ – h)² + (y₂ – k)² = (x₃ – h)² + (y₃ – k)²

Maintenant, on peut développer cette équation :

x₁² – 2x₁h + h² + y₁² – 2y₁k + k² = x₂² – 2x₂h + h² + y₂² – 2y₂k + k² = x₃² – 2x₃h + h² + y₃² – 2y₃k + k²

En simplifiant cette expression, on obtient :

x₁² + y₁² – 2x₁h – 2y₁k + h² + k² = x₂² + y₂² – 2x₂h – 2y₂k + h² + k² = x₃² + y₃² – 2x₃h – 2y₃k + h² + k²

En regroupant les termes similaires, l’équation se réduit à :

(x₁² + y₁² – x₂² – y₂²) + 2(h(x₂ – x₁) + k(y₂ – y₁)) = (x₁² + y₁² – x₃² – y₃²) + 2(h(x₃ – x₁) + k(y₃ – y₁))

On peut ensuite simplifier encore davantage :

2(a(x₂ – x₁) + b(y₂ – y₁)) = 2(a(x₃ – x₁) + b(y₃ – y₁))

Finalement, en divisant les deux côtés par 2, on obtient l’équation du cercle passant par trois points :

a(x₂ – x₁) + b(y₂ – y₁) = a(x₃ – x₁) + b(y₃ – y₁)

Cette équation peut être utilisée pour résoudre différents problèmes géométriques et mathématiques, tels que la détermination de l’équation d’un cercle tangent à une droite donnée et passant par deux autres points, ou la détermination du centre et du rayon d’un cercle connaissant trois points.

En conclusion, l’équation du cercle passant par trois points est un outil mathématique essentiel pour résoudre divers problèmes géométriques. En utilisant cette formule, il est possible de trouver l’équation d’un cercle passant par trois points donnés, ce qui facilite la résolution de problèmes mathématiques et géométriques plus complexes.

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