Equation du cercle avec centre à l'origine

L’équation du cercle est une formule mathématique puissante permettant de décrire la forme et les propriétés de cette figure géométrique bien connue. Lorsque le centre du cercle est situé à l’origine du plan cartésien, l’équation prend une forme particulière, offrant des informations précieuses sur le rayon et les points situés sur le cercle.

Pour comprendre l’équation du cercle avec centre à l’origine, il est important de revenir sur quelques notions de base en géométrie analytique. Dans un plan cartésien, chaque point est représenté par ses coordonnées (x, y), où x et y sont les distances du point à deux axes perpendiculaires (habituellement appelés axes x et y).

L’équation du cercle avec centre à l’origine peut être exprimée comme suit : x² + y² = r². Dans cette équation, x et y représentent les coordonnées de n’importe quel point situé sur le cercle, tandis que r correspond au rayon du cercle.

Cette équation peut être dérivée en utilisant la distance entre deux points sur le plan cartésien. Pour rappel, la distance entre deux points P(x₁, y₁) et Q(x₂, y₂) est donnée par la formule d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²). Si le centre du cercle est situé à l’origine (0, 0), alors la distance entre n’importe quel point P(x, y) du cercle et le centre est simplement égale à la distance |OP|, où O est l’origine. Cette distance |OP| est également appelée rayon, qui est noté r.

En utilisant la formule de distance, nous pouvons établir que |OP| = √((x – 0)² + (y – 0)²), soit x² + y² = r². Ainsi, pour tout point (x, y) situé sur le cercle, l’équation x² + y² = r² est vérifiée.

Cette équation de cercle représente une propriété fondamentale de la figure géométrique – tous les points situés à la même distance du centre du cercle (qui est l’origine dans notre cas) sont également situés sur le cercle lui-même. Cela signifie que si un point (x, y) satisfait l’équation, alors ce point appartient au cercle.

De plus, cette équation permet de déterminer le rayon du cercle en fonction de l’équation donnée. Pour trouver le rayon r, il suffit d’isoler r² de l’équation x² + y² = r² en prenant la racine carrée des deux côtés. Ainsi, r = √(x² + y²).

En utilisant l’équation du cercle, il est possible de trouver de nombreuses autres propriétés intéressantes. Par exemple, si nous avons l’équation x² + y² = 25, nous savons que ce cercle a un rayon de 5 unités (r = 5) et que tous les points situés à une distance de 5 unités du centre (l’origine) sont situés sur le cercle.

De plus, il est possible de déterminer si un point quelconque se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle en utilisant l’équation du cercle. Si les coordonnées (x, y) d’un point vérifient l’inégalité x² + y² < r², alors ce point est situé à l'intérieur du cercle. À l'inverse, si les coordonnées d'un point vérifient l'inégalité x² + y² > r², alors ce point est situé à l’extérieur du cercle.

En conclusion, l’équation du cercle avec centre à l’origine, x² + y² = r², est un outil mathématique puissant pour décrire cette figure géométrique. Cette équation fournit des informations essentielles sur le rayon du cercle, ainsi que sur les points situés sur celui-ci. Elle permet également de déterminer si un point donné est situé à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle. Grâce à cette équation, il est possible d’explorer les nombreuses propriétés intéressantes du cercle et d’approfondir notre compréhension de cette forme géométrique essentielle.