Les dérivées partielles d’une fraction sont des outils mathématiques utilisés en calcul différentiel pour étudier et analyser les variations d’une fonction fractionnaire selon ses variables. Ces dérivées permettent de mesurer les taux de variation de la fonction par rapport à chaque variable indépendante. Dans cet article, nous expliquerons comment calculer les dérivées partielles d’une fraction et comment les interpréter.

Commençons par rappeler ce qu’est une dérivée partielle. Dans un contexte à plusieurs variables, une dérivée partielle mesure comment une fonction varie lorsque l’une de ses variables change, en supposant que toutes les autres variables restent constantes. Ainsi, pour une fonction f(x, y) dépendant de deux variables, les dérivées partielles de f par rapport à x et y sont notées respectivement ∂f/∂x et ∂f/∂y.

Considérons maintenant une fonction f(x, y) sous la forme d’une fraction, c’est-à-dire f(x, y) = g(x, y) / h(x, y), où g(x, y) et h(x, y) sont des fonctions dépendant de x et y. Pour calculer les dérivées partielles de f par rapport à x et y, nous allons utiliser la règle du quotient.

La règle du quotient stipule que si nous avons une fonction f(x) = g(x) / h(x), alors la dérivée de f par rapport à x est donnée par f'(x) = (g'(x) * h(x) – g(x) * h'(x)) / h(x)^2. Dans le cas des dérivées partielles, nous appliquerons cette règle en traitant la variable par rapport à laquelle nous dérivons comme étant la variable indépendante et toutes les autres variables comme des constantes.

Appliquons cette règle pour calculer la dérivée partielle de f par rapport à x, notée ∂f/∂x. Dans ce cas, nous considérons la variable y comme une constante. La dérivée partielle de g(x, y) par rapport à x, notée ∂g/∂x, est calculée en dérivant g par rapport à x tout en considérant y comme une constante. De même, la dérivée partielle de h(x, y) par rapport à x, notée ∂h/∂x, est calculée en dérivant h par rapport à x tout en considérant y comme une constante. En utilisant la règle du quotient, nous avons :

∂f/∂x = (∂g/∂x * h – g * ∂h/∂x) / h^2.

De la même manière, nous pouvons calculer la dérivée partielle de f par rapport à y, notée ∂f/∂y, en considérant la variable x comme une constante et en dérivant g et h par rapport à y, tout en utilisant la règle du quotient.

En résumé, les dérivées partielles d’une fraction sont calculées en utilisant la règle du quotient et en considérant une variable à la fois comme une constante. Ces dérivées permettent d’analyser les variations de la fonction fractionnaire en fonction de chaque variable indépendante. Elles sont largement utilisées en physique, en économie, en statistique et dans de nombreux autres domaines pour modéliser et étudier les phénomènes qui dépendent de plusieurs variables.

En conclusion, les dérivées partielles d’une fraction sont des outils mathématiques puissants pour étudier et analyser les variations d’une fonction fractionnaire. Elles fournissent des informations sur les taux de variation de la fonction par rapport à chaque variable indépendante. En appliquant la règle du quotient et en considérant une variable à la fois comme une constante, il est possible de calculer ces dérivées et de les interpréter pour obtenir une meilleure compréhension du comportement de la fonction étudiée.

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