La dérivée première, également appelée la dérivée, est l’un des concepts fondamentaux en mathématiques. Elle est utilisée pour mesurer à quel point une fonction varie à un point donné. La dérivée première est le taux de variation instantanée d’une fonction, c’est-à-dire la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point considéré.

Pour comprendre la dérivée première, il est important de comprendre le concept de taux de variation moyen. Le taux de variation moyen entre deux points d’une fonction est défini comme le rapport de la variation de la fonction sur la variation de l’argument. Par exemple, si nous avons une fonction f(x) = x^2, le taux de variation moyen entre les points x = 2 et x = 3 est (f(3) – f(2))/(3 – 2) = (9 – 4)/1 = 5.

La dérivée première est alors définie comme la limite du taux de variation moyen lorsque les deux points considérés se rapprochent. Si nous considérons à nouveau notre fonction f(x) = x^2, nous pouvons calculer le taux de variation moyen entre les points x et x+h, où h est un nombre proche de zéro. Le taux de variation moyen est alors (f(x+h) – f(x))/h. En prenant la limite de cette expression lorsque h tend vers zéro, nous obtenons la dérivée première de la fonction f(x) au point x.

Mathématiquement, si f est une fonction définie sur un intervalle I et x est un point de cet intervalle, la dérivée première de f au point x, notée f'(x), est définie comme la limite : f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) – f(x))/h.

La dérivée première a de nombreuses applications en mathématiques et en sciences. Elle permet de déterminer les tangentes à une courbe, de trouver les valeurs minimales et maximales d’une fonction, et de résoudre des problèmes de vitesse et d’accélération dans le domaine de la physique. Elle est également utilisée pour étudier les variations d’une fonction et comprendre son comportement aux différents points de son domaine.

Pour calculer la dérivée première d’une fonction, plusieurs règles sont utilisées, comme la règle de la somme, de la différence, du produit et du quotient. Ces règles permettent de calculer les dérivées de fonctions plus complexes en se basant sur les dérivées de fonctions plus simples. Par exemple, la dérivée de la fonction f(x) = x^n est f'(x) = n*x^(n-1), où n est un réel quelconque.

Il est également important de noter que la dérivée première peut être positive, négative ou nulle, selon le comportement de la fonction au point considéré. Si la dérivée première est positive, cela signifie que la fonction est croissante au voisinage du point, si elle est négative, cela signifie qu’elle est décroissante, et si elle est nulle, cela signifie que la fonction atteint un extremum local.

En conclusion, la dérivée première est l’un des concepts clés en mathématiques. Elle permet de mesurer comment une fonction varie à un point donné, et a de nombreuses applications dans différents domaines. Elle est calculée à l’aide des règles de dérivation et permet d’étudier les variations et le comportement d’une fonction.

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