La dérivée d’une fonction polynomiale est un concept mathématique fondamental qui permet d’étudier ses variations et ses points critiques. Dans cet article, nous allons nous intéresser à la dérivée d’une fonction du deuxième degré, également appelée fonction quadratique.

Une fonction du deuxième degré est une fonction polynomiale de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes réelles et a ≠ 0. Cette forme générale peut également s’écrire sous la forme du produit de deux facteurs : f(x) = a(x – x₁)(x – x₂), où x₁ et x₂ sont les racines de la fonction.

Pour calculer la dérivée de cette fonction, nous allons utiliser les règles de dérivation. La dérivée d’une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées des fonctions individuelles. Dans le cas présent, nous avons une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, donc la dérivée de cette fonction sera égale à la somme des dérivées de chaque terme.

La dérivée de la fonction f(x) = ax² est donnée par la formule f'(x) = 2ax, où a est le coefficient du terme en x². En effet, lors de la dérivation, le coefficient a reste inchangé et on multiplie le terme en x² par son exposant, soit 2. Ainsi, la dérivée du terme ax² est égale à 2ax.

En ce qui concerne le terme bx, sa dérivée est donnée par la formule f'(x) = b. En effet, lorsque le coefficient b est constant, sa dérivée est nulle.

Enfin, le dernier terme c est également une constante, donc sa dérivée est nulle.

En appliquant ces règles de dérivation, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction quadratique f(x) = ax² + bx + c en additionnant les dérivées de chaque terme. Ainsi, nous obtenons :

f'(x) = 2ax + b

Cette équation représente la dérivée de la fonction du deuxième degré. Elle permet d’étudier les variations de la fonction et de trouver ses tangentes horizontales et points critiques.

La dérivée d’une fonction quadratique est une fonction linéaire, c’est-à-dire qu’elle est de la forme y = mx + p, où m et p sont des constantes réelles. Dans notre cas, la dérivée est égale à f'(x) = 2ax + b. Le coefficient a donne la pente de la droite et le coefficient b donne son ordonnée à l’origine.

Grâce à la dérivée, nous pouvons déterminer si la fonction du deuxième degré est croissante ou décroissante. En effet, si la dérivée est positive, cela signifie que la fonction est croissante et si la dérivée est négative, cela signifie que la fonction est décroissante. De plus, la dérivée permet de trouver les points critiques de la fonction, c’est-à-dire les points où la dérivée s’annule. Ces points correspondent aux tangentes horizontales de la fonction et peuvent être utilisés pour trouver les extremums locaux.

En conclusion, la dérivée de la fonction du deuxième degré est une fonction linéaire de la forme f'(x) = 2ax + b. Elle permet d’étudier les variations de la fonction, de trouver ses tangentes horizontales et points critiques. En utilisant les règles de dérivation, nous pouvons calculer la dérivée d’une fonction quadratique et ainsi obtenir des informations importantes sur son comportement.

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