Les fonctions composées sont des fonctions qui sont formées en combinant deux ou plusieurs fonctions ensemble. Par exemple, considérons les fonctions f(x) et g(x). La fonction composée de f et g, notée f(g(x)), est obtenue en prenant la fonction f et en remplaçant x par g(x). Autrement dit, la valeur de f(g(x)) dépend de la valeur de g(x). Pour calculer la dérivée de f(g(x)), il est nécessaire d’utiliser la règle de la chaîne.
La règle de la chaîne stipule que la dérivée d’une fonction composée est égale au produit de la dérivée de la fonction extérieure par la dérivée de la fonction intérieure. Mathématiquement, cela s’exprime comme suit : si y = f(g(x)), alors la dérivée de y par rapport à x est donnée par dy/dx = f'(g(x)) * g'(x). La dérivée de f(g(x)) est donc égale à la dérivée de f en g(x) multipliée par la dérivée de g par rapport à x.
Appliquons maintenant cette règle à un exemple pour mieux comprendre comment calculer la dérivée de fonctions composées. Prenons les fonctions f(x) = x^2 et g(x) = 3x + 1. La fonction composée est donc f(g(x)) = (3x + 1)^2. Nous voulons calculer la dérivée de cette fonction composée.
Pour ce faire, nous devons d’abord calculer la dérivée de f en g(x), c’est-à-dire f'(g(x)). La dérivée de f(x) = x^2 est f'(x) = 2x. Ensuite, nous devons calculer la dérivée de g par rapport à x, c’est-à-dire g'(x). La dérivée de g(x) = 3x + 1 est g'(x) = 3.
Maintenant, nous pouvons utiliser la règle de la chaîne pour trouver la dérivée de f(g(x)). En substituant les valeurs que nous avons calculées, nous obtenons dy/dx = 2(3x + 1) * 3. En simplifiant cette expression, nous trouvons dy/dx = 6(3x + 1).
Ainsi, la dérivée de la fonction composée f(g(x)) = (3x + 1)^2 est dy/dx = 6(3x + 1).
Il est important de noter que la règle de la chaîne peut être utilisée pour calculer la dérivée de fonctions composées avec plusieurs variables. Dans ce cas, chaque variable doit être traitée séparément lors du calcul de la dérivée partielle correspondante.
En conclusion, la dérivée de fonctions composées est calculée en utilisant la règle de la chaîne, qui consiste à multiplier la dérivée de la fonction extérieure par la dérivée de la fonction intérieure. Ce concept est largement utilisé en mathématiques et dans d’autres domaines pour analyser la variation de fonctions complexes.