La dérivation des fonctions polynomiales et fractionnaires est un concept fondamental en mathématiques dont la compréhension est essentielle pour l’étude approfondie du calcul différentiel. Dans cet article, nous allons examiner en détail le processus de dérivation de ces types de fonctions.

Commençons par les fonctions polynomiales. Une fonction polynomiale est une expression mathématique sous la forme P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0, où les a_i sont des coefficients réels et n est le degré du polynôme. La dérivation d’une fonction polynomiale consiste à trouver la dérivée de chaque terme individuel et à les ajouter pour obtenir la dérivée du polynôme entier.

La dérivée d’un terme constant a_0 est toujours nulle. En effet, la dérivée d’une constante est égale à zéro car elle ne dépend pas de la variable x. La dérivée d’un terme de la forme a_i x^k est donnée par la formule suivante : d/dx (a_i x^k) = a_i k x^{k-1}. Cela signifie que le coefficient a_i est multiplié par k, qui est l’exposant de x, et x est élevé à la puissance k-1.

Maintenant, considérons les fonctions fractionnaires. Une fonction fractionnaire est une expression mathématique de la forme f(x) = (P(x))/(Q(x)), où P(x) et Q(x) sont des polynômes et Q(x) n’est pas égal à zéro pour tout x dans le domaine de la fonction. La dérivation d’une fonction fractionnaire suit quelques règles supplémentaires par rapport à la dérivation des fonctions polynomiales.

La première règle est la règle de la dérivée du quotient, qui dit que la dérivée d’une fonction fractionnaire est égale à (P'(x)Q(x) – P(x)Q'(x))/(Q(x))^2. Ici, P'(x) et Q'(x) représentent les dérivées respectives des polynômes P(x) et Q(x). La démonstration de cette règle implique l’utilisation de la règle du produit et de la règle de la dérivée de la fonction inverse.

La deuxième règle est la règle de la dérivée de la fonction inverse, qui dit que la dérivée de l’inverse d’une fonction est égale à l’opposé de la dérivée de la fonction divisée par le carré de la fonction. En utilisant cette règle, on peut trouver la dérivée de chaque terme individuel dans le numérateur et le dénominateur, puis les combiner en utilisant la règle de la dérivée du quotient.

Il convient de noter que la dérivation des fonctions polynomiales et fractionnaires peut devenir assez complexe dans certains cas, en particulier lorsque le degré des polynômes est élevé ou lorsque la fonction fractionnaire présente des termes compliqués. Dans de tels cas, il peut être utile d’utiliser des logiciels de calcul formel ou des méthodes numériques pour obtenir des résultats précis.

En conclusion, la dérivation des fonctions polynomiales et fractionnaires est un concept important en mathématiques qui permet d’étudier le comportement local de ces fonctions. En comprenant les règles de dérivation appropriées, on peut trouver la dérivée d’une fonction polynomiale ou fractionnaire et explorer ses propriétés plus en profondeur.

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