La démonstration du théorème de Pythagore est l’un des moments clés de l’apprentissage des mathématiques au collège. Ce célèbre théorème établit une relation fondamentale dans les triangles rectangles, et sa démonstration permet aux élèves de comprendre et d’appliquer ce concept essentiel.

Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si on note « a » et « b » les longueurs des côtés adjacents à l’angle droit, et « c » la longueur de l’hypoténuse, alors « c² = a² + b² ».

Pour démontrer ce théorème, les professeurs utilisent souvent des carrés de différentes tailles qu’ils découpent et réarrangent pour former des figures géométriques. En manipulant ces figures, les élèves peuvent observer visuellement comment les carrés des côtés adjacent à l’angle droit se combinent pour former le carré de l’hypoténuse.

Par exemple, les professeurs peuvent commencer par utiliser un carré de côté « a » et un carré de côté « b ». Ils les placent côte à côte pour former un rectangle de côtés « a » et « b », et ils ajoutent ensuite un carré de côté « c » à l’intérieur de ce rectangle. Ils demandent ensuite aux élèves de calculer l’aire totale de cette figure.

En faisant cela, les élèves réalisent que l’aire totale du grand rectangle est égale à la somme des aires des carrés « a² » et « b² ». Ils constatent également que l’aire du carré « c² » est égale à l’aire rajoutée à l’intérieur du rectangle. Ainsi, ils comprennent que l’aire totale de la figure est égale à la somme des carrés des côtés « a » et « b » plus l’aire du carré « c ». Cette démonstration visuelle montre donc l’équivalence de l’énoncé « c² = a² + b² ».

Ensuite, les professeurs utilisent souvent cette figure pour montrer comment on peut déplacer les carrés pour obtenir une nouvelle figure. Ils font glisser le carré de côté « a » de façon à le placer sur l’hypoténuse, et ils placent le carré de côté « b » dans un coin de la figure. Ainsi, ils forment un grand carré de côté « c » composé des carrés de côtés « a » et « b » ainsi que d’un carré de surface « c² » à l’intérieur.

En comparant les aires des deux figures, les élèves constatent que l’aire totale reste inchangée, peu importe la disposition des carrés. Ils en déduisent alors que les aires des carrés « a² », « b² » et « c² » sont les mêmes. Et puisque les aires des carrés « a² » et « b² » correspondent aux carrés des côtés adjacents à l’angle droit, l’aire du carré « c² » doit correspondre au carré de l’hypoténuse « c ». Ainsi, le théorème de Pythagore est démontré de manière rigoureuse.

La démonstration du théorème de Pythagore au collège est donc une étape essentielle dans l’apprentissage des mathématiques. Elle permet aux élèves de développer leur raisonnement logique tout en leur faisant visualiser et comprendre ce concept fondamental. Une fois assimilée, cette démonstration permet aux élèves d’appliquer le théorème de Pythagore dans de nombreux problèmes de géométrie, et constitue une base solide pour la suite de leur apprentissage mathématique.

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