Démonstration du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore énonce que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle rectangle, avec c étant l’hypoténuse, alors a^2 + b^2 = c^2.

Pour démontrer ce théorème, nous devons d’abord comprendre ce qu’est un triangle rectangle. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90 degrés. Les côtés adjacents à l’angle droit sont appelés les cathètes, et le côté opposé à l’angle droit est appelé l’hypoténuse.

La démonstration du théorème de Pythagore se base sur la construction d’un carré à partir des trois côtés du triangle rectangle. Supposons que nous ayons un triangle rectangle ABC, avec les cathètes AC et BC, et l’hypoténuse AB.

La première étape consiste à construire un carré autour du triangle ABDC, dont les côtés sont de longueur égale à celle de l’hypoténuse AB. Ainsi, nous obtenons un carré de côté AB. Le carré est constitué de quatre angles droits, dont deux sont formés par les côtés du triangle rectangle.

Ensuite, nous divisons le carré en plusieurs parties. Nous traçons une ligne verticale et une ligne horizontale, reliant les extrémités du triangle rectangle aux côtés opposés du carré. Ces deux lignes divisent le carré en quatre parties : deux triangles rectangles isocèles et deux carrés.

Les triangles rectangles isocèles sont identiques, ayant chacun un angle de 90 degrés et des côtés de longueur égale à celle des cathètes AC et BC. Les deux carrés ont chacun un côté de longueur égale à celle de l’hypoténuse AB.

À ce stade, nous pouvons clairement observer que la somme des aires des deux carrés est égale à l’aire du carré initial, car ils partagent le même côté de longueur AB. L’aire d’un carré est calculée en multipliant la longueur de l’un de ses côtés par lui-même, donc si le côté du carré initial est de longueur AB, son aire est (AB)^2.

Puisque l’aire d’un carré est égale au carré de la longueur de son côté, l’aire de chaque carré est (AC)^2 et (BC)^2, respectivement. Donc, nous pouvons écrire l’équation : (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2, ce qui est la formule du théorème de Pythagore.

En conclusion, la démonstration du théorème de Pythagore est basée sur la construction d’un carré autour d’un triangle rectangle et la division de ce carré en plusieurs parties. En comparant les aires des différentes parties du carré, nous pouvons prouver que la somme des aires des carrés formés par les cathètes d’un triangle rectangle est égale à l’aire du carré formé par l’hypoténuse. Cela se traduit par la fameuse formule a^2 + b^2 = c^2. Le théorème de Pythagore est donc démontré de manière mathématiquement rigoureuse et reste un pilier fondamental des mathématiques.