Le théorème de Pythagore est l’un des principaux théorèmes de la géométrie euclidienne. Il énonce la relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. C’est l’un des résultats les plus fondamentaux en mathématiques et il porte le nom du célèbre mathématicien grec Pythagore.

La démonstration du théorème de Pythagore remonte à l’époque des mathématiques grecques anciennes. Pythagore lui-même aurait découvert cette relation vers le VIe siècle av. J.-C., mais il est également possible qu’il l’ait héritée de ses prédécesseurs. Quoi qu’il en soit, la démonstration de ce théorème est relativement simple.

Considérons un triangle rectangle ABC, où l’angle droit est formé par les côtés AC et BC. Le théorème de Pythagore affirme que le carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Soit a, b et c les longueurs respectives des côtés AB, AC et BC. Nous souhaitons prouver que a² + b² = c². Pour ce faire, nous allons utiliser une méthode de démonstration appelée preuve par contradiction.

Supposons d’abord que la relation a² + b² = c² n’est pas vraie. Cela signifie qu’il existe une différence entre la somme des carrés des côtés a et b, et le carré de l’hypoténuse c. Soit d l’écart entre ces deux valeurs : d = c² – (a² + b²).

Maintenant, nous allons construire un carré à partir des côtés de notre triangle. Nous formons un carré sur chacun des côtés a et b, créant ainsi deux carrés dont les aires respectives sont a² et b². Puisque ces deux carrés sont construits à partir des côtés du triangle, ils peuvent être juxtaposés pour former un grand carré de côté (a + b).

Supposons maintenant que l’aire de ce grand carré soit différente de l’aire du carré construit sur l’hypoténuse c. Soit e la différence entre ces deux aires : e = c² – (a² + b²).

Si nous supposons que notre hypothèse de départ est vraie (d ≠ 0), cela signifie que l’aire du grand carré, qui est égale à celle de deux carrés juxtaposés (a² + b²), serait différente de l’aire du carré construit sur l’hypoténuse c. En d’autres termes, e ≠ 0.

Maintenant, nous avons deux hypothèses : d ≠ 0 et e ≠ 0. Cependant, cela entraîne une contradiction, car nous avons construit nos carrés de telle manière que la somme des carrés a² + b² soit égale à l’aire du grand carré, qui est égale à l’aire du carré c².

Ainsi, si nous supposons que le théorème de Pythagore n’est pas vrai, nous aboutissons à une contradiction. Par conséquent, notre hypothèse de départ est fausse, et cela signifie que le théorème de Pythagore est vrai.

En conclusion, la démonstration du théorème de Pythagore repose sur une preuve par contradiction. En supposant que la relation a² + b² = c² n’est pas vraie, on arrive à une contradiction en comparant les aires de deux carrés avec celle d’un carré plus grand. Cela prouve que le théorème de Pythagore est valide, et il est ainsi largement utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique.

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