La définition formelle d’une fonction est l’association d’un élément de départ appelé l’ensemble de départ ou domaine, à un élément d’arrivée appelé l’ensemble d’arrivée ou codomaine, en respectant une certaine règle de correspondance. Par conséquent, connaître à la fois le domaine et le codomaine d’une fonction est important pour déterminer l’étendue de la fonction et ainsi éviter les erreurs lors de la résolution de problèmes mathématiques. Dans cet article, nous explorerons comment trouver le domaine et le codomaine d’une fonction.

Commençons par le domaine d’une fonction. Le domaine d’une fonction est l’ensemble des valeurs que l’entrée de la fonction peut prendre. Plus simplement, c’est la liste des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Le domaine peut être déterminé en examinant la formule de la fonction elle-même, sachant que certaines valeurs ne seront pas acceptables.

Par exemple, considérons la fonction f(x) = 3/x. La division par zéro n’est pas définie dans le corps des nombres réels; par conséquent, nous excluons la valeur zéro de x. Ainsi, le domaine de la fonction f(x) est tout le corps des nombres réels sauf 0. Nous pouvons l’écrire de la manière suivante: Df = {x | x ∈ℝ, x ≠ 0}.

Pour une autre illustration, examinons la fonction g(x) = racine carrée de (x-2). Les racines carrées ne peuvent pas être prises de nombres négatifs dans le corps des nombres réels. Par conséquent, nous excluons les valeurs de x<2. Le domaine de g(x) est donc: Dg = {x | x ∈ℝ, x ≥ 2} Cependant, il est important de noter que toutes les fonctions ne seront pas aussi simples. Pour certaines fonctions telles que les fonctions rationnelles et transcendantales, déterminer le domaine peut être plus difficile. Dans de tels cas, il peut être utile de dessiner un graphe de la fonction afin de visualiser ses trajectoires.

Ensuite, nous avons le codomaine d’une fonction. Le codomaine est l’ensemble des valeurs que la sortie de la fonction peut prendre. Plus simplement, c’est la liste des valeurs que la fonction peut produire à partir des valeurs du domaine. Contrairement au domaine, le codomaine est souvent plus facile à déterminer, étant donné que cela n’est pas lié à une condition d’exclusion.

Prenons la fonction f(x) = x^2. Dans ce cas, le carré d’un nombre réel donne toujours un nombre réel positif. Par conséquent, le codomaine de f(x) est l’ensemble des nombres réels positifs, formellement exprimé comme suit: Cf = {y | y ∈ℝ, y ≥ 0}.

D’autre part, si nous avons la fonction g(x) = sin(x), le codomaine de cette fonction est [-1, 1], car le sinus d’un nombre réel donne toujours une valeur comprise entre -1 et 1. Formellement, nous pouvons dire que Cg = {y | y ∈ℝ, -1≤ y ≤ 1}.

Pour conclure, il est important de comprendre que les domaines et les codomaines des fonctions sont des concepts clés en mathématiques. Pour les déterminer, il est essentiel de connaître la formule complète de la fonction et de comprendre les caractéristiques de ses propriétés. Bien que déterminer le domaine et le codomaine puisse être difficile dans certains cas, ces deux éléments sont essentiels pour éviter des erreurs de calcul dans des énoncés mathématiques. En fin de compte, connaître le domaine et le codomaine permettra aux mathématiciens de mieux comprendre et de résoudre des problèmes mathématiques plus complexes.

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