Lorsque nous étudions les fonctions rationnelles, nous rencontrons souvent des asymptotes, qui sont des droites vers lesquelles la fonction se rapproche lorsque la variable tend vers l’infini ou moins l’infini. Les asymptotes peuvent être horizontales, verticales ou inclinées. Dans cet article, nous allons nous concentrer sur la recherche de l’asymptote inclinée d’une fonction rationnelle.

Qu’est-ce qu’une asymptote inclinée ?

Une asymptote inclinée, également appelée oblique, est une droite vers laquelle la fonction se rapproche lorsque la variable tend vers l’infini ou moins l’infini. Contrairement aux asymptotes horizontales ou verticales, une asymptote inclinée n’est pas une droite parallèle à l’un des axes.

Quand avons-nous une asymptote inclinée ?

Une fonction rationnelle a une asymptote inclinée lorsque le degré du numérateur est supérieur d’une unité par rapport au degré du dénominateur. Par exemple, si le degré du numérateur est 2 et le degré du dénominateur est 1, alors nous aurons une asymptote inclinée.

Comment trouver l’asymptote inclinée d’une fonction rationnelle ?

Pour trouver l’asymptote inclinée, nous devons effectuer une division longue entre le numérateur et le dénominateur de la fonction rationnelle. Le quotient de cette division sera l’équation de la droite inclinée.

Voici les étapes à suivre :

Identifiez le degré du numérateur et du dénominateur de la fonction rationnelle. Assurez-vous que le degré du numérateur est supérieur d’une unité par rapport au degré du dénominateur.

Effectuez une division longue entre le numérateur et le dénominateur. Écrivez le quotient de cette division.

L’équation de l’asymptote inclinée sera du type y = mx + b, où m est le coefficient devant le terme de plus haut degré dans le quotient de la division longue, et b est le terme constant de ce quotient.

Pouvez-vous donner un exemple concret ?

Bien sûr ! Prenons l’exemple de la fonction rationnelle suivante : f(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (x + 1). Le degré du numérateur est 2, tandis que le degré du dénominateur est 1. Donc nous avons une asymptote inclinée.

Effectuons la division longue :

2x + 1
—————–
x + 1 | 2x^2 + 3x + 1
– (2x^2 + 2x)
————-
5x + 1

Le quotient de cette division est 2x + 1. Donc l’équation de l’asymptote inclinée est y = 2x + 1.

Existe-t-il des cas où il n’y a pas d’asymptote inclinée ?

Oui, il est possible qu’une fonction rationnelle n’ait ni d’asymptote horizontale, ni d’asymptote verticale, ni d’asymptote inclinée. Cela se produit lorsque le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Y a-t-il d’autres méthodes pour trouver l’asymptote inclinée ?

Oui, une autre méthode consiste à utiliser les limites lorsque la variable tend vers l’infini ou moins l’infini. Si la limite de la fonction rationnelle est une constante, alors il n’y a pas d’asymptote inclinée. Si la limite tend vers l’infini ou moins l’infini, alors il y aura une asymptote inclinée.

En conclusion, les asymptotes inclinées sont des droites vers lesquelles une fonction rationnelle se rapproche lorsque la variable tend vers l’infini ou moins l’infini. Pour trouver l’asymptote inclinée, il faut effectuer une division longue entre le numérateur et le dénominateur de la fonction rationnelle, et écrire le quotient de cette division. Il est également possible d’utiliser les limites pour déterminer si une fonction a une asymptote inclinée.

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