Qu’est-ce que la dérivée seconde ?
La dérivée seconde d’une fonction f(x) est la dérivée de sa dérivée première. Elle représente la vitesse à laquelle la dérivée première change en fonction de x. Mathématiquement, elle est notée f »(x) ou d²f/dx².
Comment calculer la dérivée seconde ?
Pour calculer la dérivée seconde d’une fonction, vous devez d’abord trouver sa dérivée première. Ensuite, vous dérivez à nouveau cette dérivée première. Voici les étapes détaillées :
- Déterminer la dérivée première de la fonction en utilisant les règles de dérivation (règle de la puissance, règle de la somme, règle du produit, etc.).
- Une fois que vous avez trouvé la dérivée première, dérivez-la à nouveau en appliquant les mêmes règles de dérivation.
- Vous obtiendrez ainsi la dérivée seconde de la fonction.
Exemple de calcul de dérivée seconde :
Prenons l’exemple de la fonction f(x) = 3x² + 2x + 1 :
- Calcul de la dérivée première f'(x) : f'(x) = 6x + 2
- Calcul de la dérivée seconde f »(x) : f »(x) = 6
La dérivée seconde de la fonction f(x) = 3x² + 2x + 1 est constante et vaut 6.
Interprétation de la dérivée seconde :
La dérivée seconde permet d’analyser le comportement d’une fonction :
- Si la dérivée seconde est positive, cela signifie que la fonction est convexe et présente une courbure vers le haut.
- Si la dérivée seconde est négative, cela signifie que la fonction est concave et présente une courbure vers le bas.
- Si la dérivée seconde est nulle, cela signifie que la fonction est linéaire ou présente un point d’inflexion.
Il est également possible d’utiliser la dérivée seconde pour déterminer les extrema de la fonction et les points de concavité. Pour cela, il suffit d’étudier les signes de la dérivée seconde.
La dérivée seconde est un outil puissant pour l’étude des fonctions en mathématiques. Elle permet de comprendre leur comportement et de déterminer leur concavité. En suivant les étapes expliquées dans cet article, vous serez en mesure de calculer la dérivée seconde d’une fonction. N’hésitez pas à pratiquer sur plusieurs exemples pour vous familiariser avec cette notion essentielle en mathématiques.