Comment transformer les nombres décimaux périodiques en fractions

Commençons par un exemple, considérons le nombre 0,666…, qui est une décimale périodique. La première étape consiste à identifier la partie répétitive du nombre. Dans ce cas-ci, la partie répétitive est 6.

Nous savons que, pour construire une fraction, nous avons besoin d’un numérateur et d’un dénominateur. Pour trouver notre numérateur, nous devons multiplier notre nombre décimal périodique par 10 autant de fois que nécessaire pour que la partie répétitive soit à gauche de la virgule. Dans ce cas-ci, nous multiplions 0,666… par 10, ce qui nous donne 6,666…

Ensuite, pour déterminer le dénominateur, nous soustrayons la partie décimale non répétitive du nombre que nous avons obtenu. Dans ce cas-ci, le décimal non répétitif est 0.666… – 0.666 = 0. Nous savons donc que notre dénominateur est 10 – 1, soit 9.

Maintenant que nous avons notre numérateur et notre dénominateur, nous pouvons écrire notre fraction. La fraction correspondant à 0,666… est donc 6/9. Nous pouvons simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun, ce qui dans ce cas-ci est 3. Notre fraction finale est donc égale à 2/3.

Il est important de noter que cette méthode ne fonctionne que pour les nombres décimaux périodiques dont la partie répétitive est constituée d’un chiffre ou de plusieurs chiffres identiques. Pour les nombres décimaux périodiques plus complexes, la méthode de conversion en fractions peut être plus difficile.

Par exemple, considérons le nombre décimal périodique 0,123123123… Dans ce cas-ci, la partie répétitive est 123. Pour trouver le numérateur, nous devons multiplier notre nombre décimal périodique par 1000, car il y a trois chiffres dans la partie répétitive. Cela nous donne 123.123123…, et en soustrayant 0,123123123…, nous obtenons 123. Cela donne un dénominateur de 999, car il y a 3 chiffres dans la partie répétitive.

Ensuite, nous pouvons simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun, qui est 3 dans ce cas-ci. Notre fraction finale est donc de 41/333.

En résumé, pour transformer un nombre décimal périodique en fraction, il faut :

– Identifier la partie répétitive
– Multiplier le nombre décimal périodique par 10 autant de fois que nécessaire pour que la partie répétitive soit à gauche de la virgule
– Soustraire la partie décimale non répétitive
– Trouver le plus grand diviseur commun entre le numérateur et le dénominateur
– Simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.

En utilisant cette méthode, vous pourrez facilement transformer n’importe quel nombre décimal périodique en fraction.