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Tout d’abord, qu’est-ce qu’une fraction complexe? Une fraction complexe est simplement une fraction dans laquelle le numérateur et/ou le dénominateur contiennent des termes qui sont eux-mêmes des fractions. Par exemple, la fraction $\frac{\frac{2}{3}+1}{\frac{4}{5}-3}$ est une fraction complexe.
Pour simplifier les fractions complexes, nous devons suivre ces étapes:
1. Trouver un commun dénominateur pour les termes des fractions
2. Effectuer les opérations arithmétiques sur les termes des fractions
3. Simplifier si possible
Examinons de plus près chacune de ces étapes:
1. Trouver un commun dénominateur pour les termes des fractions
La première étape consiste à trouver un commun dénominateur pour toutes les fractions dans la fraction complexe. Pour ce faire, nous devons multiplier chaque fraction par un facteur qui la fera correspondre aux autres fractions en termes de dénominateur. Par exemple, si nous avons la fraction complexe $\frac{\frac{2}{3}+1}{\frac{4}{5}-3}$, nous devons multiplier la fraction du numérateur, $\frac{2}{3}$, par $\frac{5}{5}$ pour obtenir un dénominateur commun de $15$. Nous multiplions ensuite la fraction du dénominateur, $\frac{4}{5}$, par $\frac{3}{3}$ pour obtenir également un dénominateur de $15$. Cela donne:
$$\frac{\frac{2}{3}\times 5+1\times 3}{\frac{4}{5}\times 3-3\times 5}=\frac{\frac{10}{15}+\frac{3}{15}}{\frac{12}{15}-\frac{15}{15}}$$
2. Effectuer les opérations arithmétiques sur les termes des fractions
La deuxième étape consiste à effectuer les opérations arithmétiques sur les termes des fractions. Dans cet exemple, nous avons simplement besoin d’additionner les termes du numérateur et du dénominateur:
$$\frac{\frac{10}{15}+\frac{3}{15}}{\frac{12}{15}-\frac{15}{15}}=\frac{\frac{13}{15}}{\frac{-3}{15}}$$
3. Simplifier si possible
La dernière étape consiste à simplifier la fraction, si possible. Dans cet exemple, nous pouvons simplifier en divisant les termes du numérateur et du dénominateur par leur PGCD, qui est 1:
$$\frac{\frac{13}{15}}{\frac{-3}{15}}=\frac{13}{-3}=-\frac{13}{3}$$
En suivant ces trois étapes, nous avons simplifié la fraction complexe $\frac{\frac{2}{3}+1}{\frac{4}{5}-3}$ en $-\frac{13}{3}$.
Examinons un autre exemple:
$$\frac{\frac{x}{y}+\frac{1}{z}}{\frac{1}{y}-\frac{x}{z}}$$
1. Trouver un commun dénominateur pour les termes des fractions
Pour trouver un commun dénominateur, nous multiplions la première fraction du numérateur par $\frac{z}{z}$ et la deuxième fraction du dénominateur par $\frac{y}{y}$:
$$\frac{\frac{x}{y}\times\frac{z}{z}+\frac{1}{z}\times\frac{y}{y}}{\frac{1}{y}\times\frac{z}{z}-\frac{x}{z}\times\frac{y}{y}}=\frac{\frac{xz}{yz}+\frac{y}{yz}}{\frac{z}{yz}-\frac{xy}{yz}}$$
2. Effectuer les opérations arithmétiques sur les termes des fractions
Nous devons maintenant effectuer les opérations arithmétiques sur les termes de la fraction:
$$\frac{\frac{xz}{yz}+\frac{y}{yz}}{\frac{z}{yz}-\frac{xy}{yz}}=\frac{\frac{xz+y}{yz}}{\frac{z-xy}{yz}}$$
3. Simplifier si possible
Enfin, nous pouvons simplifier la fraction en divisant les termes du numérateur et du dénominateur par leur PGCD, qui est $yz$:
$$\frac{\frac{xz+y}{yz}}{\frac{z-xy}{yz}}=\frac{xz+y}{z-xy}$$
En suivant ces trois étapes, nous avons simplifié la fraction complexe $\frac{\frac{x}{y}+\frac{1}{z}}{\frac{1}{y}-\frac{x}{z}}$ en $\frac{xz+y}{z-xy}$.
En conclusion, simplifier les fractions complexes peut sembler compliqué à première vue, mais une fois que vous avez compris les trois étapes de base – trouver un commun dénominateur, effectuer les opérations arithmétiques, et simplifier si possible – vous pouvez vous attaquer à n’importe quelle fraction complexe avec confiance.
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