Comment obtenir une matrice transposée

Définition de la transposition d’une matrice

Tout d’abord, il est important de comprendre ce qu’est une matrice. Une matrice est un tableau de nombres organisés en lignes et en colonnes. Une matrice peut être de différentes tailles, et peut contenir des nombres réels, complexes ou entiers.

La transposition d’une matrice est une opération qui consiste à échanger les lignes et les colonnes de la matrice. Par exemple, si nous avons une matrice M de taille 3×2 (3 lignes et 2 colonnes), la transposée de cette matrice, notée Mᵀ, sera une matrice de taille 2×3 (2 lignes et 3 colonnes).

La transposée d’une matrice est souvent utilisée dans les calculs de vecteurs et de matrices, car elle permet de résoudre des systèmes d’équations linéaires et de simplifier les calculs de produits matriciels.

Comment obtenir une matrice transposée

Maintenant que nous avons défini ce qu’est une matrice transposée, nous allons voir comment obtenir une matrice transposée.

Pour obtenir la matrice transposée d’une matrice M, il suffit d’échanger les lignes et les colonnes de cette matrice. Pour ce faire, nous allons prendre chaque élément de la matrice et le placer à l’endroit correspondant dans la matrice transposée.

Par exemple, si nous avons la matrice M suivante :

M =
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |

Sa transposée Mᵀ sera la matrice suivante :

Mᵀ =
| 1 4 |
| 2 5 |
| 3 6 |

Nous avons échangé les lignes et les colonnes de la matrice M pour obtenir la matrice transposée Mᵀ. Nous avons pris chaque élément de la matrice M et l’avons placé dans la matrice transposée Mᵀ à l’endroit correspondant.

L’opération de transposition peut également être effectuée à l’aide de la formule suivante :

(Mᵀ)ij = Mji

Cette formule nous permet de calculer chaque élément de la matrice transposée Mᵀ en prenant l’élément correspondant de la matrice M à l’emplacement (j,i) plutôt qu’à l’emplacement (i,j).

Par exemple, si nous avons la matrice M suivante :

M =
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |

Nous pouvons calculer la matrice transposée Mᵀ à l’aide de la formule suivante :

Mᵀ =
| 1 4 |
| 2 5 |
| 3 6 |

En utilisant la formule (Mᵀ)ij = Mji, nous avons :

(Mᵀ)11 = M11 = 1
(Mᵀ)12 = M21 = 4
(Mᵀ)13 = M31 = 3
(Mᵀ)21 = M12 = 2
(Mᵀ)22 = M22 = 5
(Mᵀ)23 = M32 = 6

Cela nous donne la matrice transposée Mᵀ suivante :

Mᵀ =
| 1 4 |
| 2 5 |
| 3 6 |

Conclusion

La transposition d’une matrice est une opération mathématique couramment utilisée dans les mathématiques, la physique, l’informatique et de nombreuses autres disciplines. La matrice transposée est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice d’origine. Pour obtenir la matrice transposée, on peut utiliser la méthode de l’échange des lignes et des colonnes, ou bien la formule (Mᵀ)ij = Mji. La matrice transposée est utile dans de nombreux calculs mathématiques, et est souvent utilisée dans les calculs de vecteurs et de matrices.