La propriété invariante de la division est une notion essentielle en mathématiques, et notamment en arithmétique. Elle permet de prouver que certains résultats sont vrais avant même de les démontrer formellement. Dans cet article, nous allons explorer différentes méthodes pour établir la propriété invariante de la division.

Avant de commencer, clarifions ce que l’on entend par « propriété invariante de la division ». Cette propriété stipule que si nous divisons un nombre entier par un autre, le reste de cette division ne changera pas tant que le diviseur reste le même. Autrement dit, le reste sera le même pour tous les dividendes qui sont multiples du diviseur.

Prenons l’exemple suivant pour mieux comprendre cette propriété : si nous divisons 10 par 3, le résultat est 3 avec un reste de 1. Si nous divisons maintenant 13 par 3, le résultat sera toujours 3 avec un reste de 1. C’est cette constance du reste que nous cherchons à établir dans la propriété invariante de la division.

La méthode la plus couramment utilisée pour établir cette propriété est la preuve par l’absurde. Cette méthode consiste à supposer que la propriété n’est pas vraie, et ensuite démontrer que cela conduit à une contradiction.

Prenons à nouveau l’exemple de la division de 10 par 3. Supposons que la propriété invariante de la division n’est pas vraie, c’est-à-dire qu’il existe deux dividendes multiples de 3, disons x et y, tels que leurs restes respectifs soient différents. Soit x = 3a + r1 et y = 3b + r2, où a, b, r1 et r2 sont des entiers.

Si les restes sont différents, cela signifie que r1 ≠ r2. Alors, nous avons x – y = 3a + r1 – (3b + r2) = 3(a – b) + (r1 – r2). Selon cette expression, si r1 – r2 ≠ 0, alors x – y ne serait pas un multiple de 3, ce qui contredit notre hypothèse initiale selon laquelle x et y sont tous deux des dividendes multiples de 3.

Ceci est une contradiction, ce qui signifie que notre supposition initiale était fausse. La propriété invariante de la division est donc vérifiée et le reste de la division ne change pas tant que le diviseur reste le même.

Une autre méthode pour établir la propriété invariante de la division est la méthode des classes d’équivalence. Cette méthode consiste à regrouper les dividendes en classes, selon leur reste lors de la division par le diviseur donné.

Prenons l’exemple de la division de 10 par 3. Les dividendes peuvent être regroupés en trois classes d’équivalence : ceux dont le reste est 0 (comme 3, 6, 9, etc.), ceux dont le reste est 1 (comme 1, 4, 7, etc.) et ceux dont le reste est 2 (comme 2, 5, 8, etc.). Tous les dividendes d’une même classe ont le même reste lors de la division par 3.

Si nous prenons maintenant n’importe quel autre nombre, par exemple 13, il appartient à la classe ayant un reste de 1. Quel que soit le nombre que nous choisissons dans cette classe, le reste sera toujours le même lors de sa division par 3. Cela vérifie notre propriété invariante de la division.

En conclusion, la propriété invariante de la division est établie en utilisant des méthodes mathématiques rigoureuses, telles que la preuve par l’absurde ou la méthode des classes d’équivalence. Ces méthodes permettent de prouver que le reste de la division ne change pas tant que le diviseur reste le même. Il s’agit d’une propriété fondamentale en arithmétique qui facilite les calculs et la compréhension des nombres.

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