Les expressions avec les puissances font partie des bases fondamentales de l’algèbre, des mathématiques appliquées et même de la physique. Elles permettent de simplifier l’écriture des expressions mathématiques et de faciliter les calculs. Dans cet article, nous allons examiner les différentes façons d’effectuer les expressions avec les puissances.

La notation des puissances

Les puissances sont notées en utilisant l’exposant. Par exemple, x^3 signifie x élevé à la puissance 3. Le chiffre en exposant indique le nombre de fois que la base doit être multipliée par elle-même. Pour comprendre cela, prenons l’exemple de l’expression 2^4. Ce que cette expression signifie, c’est que nous prenons le nombre 2 et le multiplions par lui-même quatre fois. C’est-à-dire :

2^4 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Nous pouvons également utiliser des puissances négatives. Lorsque nous avons une puissance négative, cela signifie que nous prenons l’inverse de la base élevée au nombre positif correspondant à l’exposant. Par exemple, x^-3 signifie que nous prenons l’inverse de x^3, ce qui donne 1/x^3.

Il est important de se rappeler que les puissances doivent être effectuées avant la multiplication (ou la division). Cela signifie que, dans l’expression 2 x 2^3, nous devons d’abord évaluer 2^3 (qui est égal à 8), puis nous multiplions ce résultat par 2, ce qui donne 16.

Les règles pour le calcul des puissances

Il existe quatre règles de base pour le calcul des puissances :

1. a^m x a^n = a^(m+n)
2. (a^m)^n = a^(mn)
3. (ab)^n = a^n x b^n
4. (a/b)^n = a^n/b^n

La première règle indique que si nous avons deux exponentielles avec une même base, nous pouvons simplement ajouter les exposants. Par exemple, 2^3 x 2^4 peut être résolu comme suit :

2^3 x 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128.

La deuxième règle permet de résoudre une puissance élevée à une autre puissance. Par exemple, (2^3)^4 peut être résolu comme suit :

(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12 = 4096.

La troisième règle permet de résoudre une multiplication de deux bases élevées à la même puissance. Par exemple, (2 x 3)^4 peut être résolu comme suit :

(2 x 3)^4 = 2^4 x 3^4 = 16 x 81 = 1296.

La quatrième règle permet de résoudre une division de deux bases élevées à la même puissance. Par exemple, (4/2)^3 peut être résolu comme suit :

(4/2)^3 = 2^3 = 8.

Les expressions avec les puissances fractionnaires

Il est également possible d’effectuer des expressions qui ont des puissances fractionnaires. Pour cela, nous utilisons la règle suivante :

a^n/m = racine(m) de a^n

Cela signifie que, pour calculer une expression avec une puissance fractionnaire, nous prenons la racine m-ième de la base élevée à la puissance n.

Par exemple, pour résoudre l’expression suivante :

(8^2/3)^-1/6

Nous commençons par résoudre l’expression à l’intérieur de la parenthèse, en prenant la racine cubique de 8^2 :

(8^2/3) = racine(3) de 8^2 = racine(3) de 64 = 4.

Nous pouvons alors utiliser la règle pour les puissances négatives pour obtenir :

(8^2/3)^-1/6 = (1/4)^-1/6 = racine(6) de 1/4 = 1/racine(6) de 1/4.

Enfin, nous pouvons simplifier cette expression en multipliant les numérateurs et les dénominateurs par la racine 6-en-ième de 4 :

1/racine(6) de 1/4 = racine(6) de 4 / racine(6) de 4 / racine(6) de 4 = (2 racine(6)) / 4 = racine(6) / 2.

Conclusion

Les expressions avec les puissances sont un élément important des mathématiques et de la physique. En utilisant les règles de base pour les puissances, ainsi que la notation fractionnaire pour les puissances, il est possible de simplifier les expressions mathématiques complexes, ce qui peut faciliter les calculs et les problèmes plus difficiles. Avec un peu de pratique, ces règles et techniques deviendront des habitudes naturelles pour les étudiants et les professionnels en mathématiques.

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