Un polynôme est homogène lorsqu’il est composé uniquement de termes qui ont tous le même degré. Pour déterminer si un polynôme est homogène, il suffit de vérifier si tous les termes du polynôme ont le même degré, c’est-à-dire si l’exposant de chaque variable qui apparaît dans le polynôme est le même pour tous les termes. Dans cet article, nous expliquerons plus en détail comment déterminer si un polynôme est homogène et illustrerons la méthode à l’aide d’exemples concrets.

Tout d’abord, il est important de comprendre le concept de degré d’un terme dans un polynôme. Le degré d’un terme est la somme des exposants des variables qui apparaissent dans ce terme. Par exemple, dans le polynôme P(x,y) = x^2 – 3xy + 2y^3, le terme x^2 a un degré de 2 car l’exposant de x est 2 et aucun autre variable n’apparaît dans ce terme. De la même manière, le terme 2y^3 a un degré de 3 car l’exposant de y est 3 et aucun autre variable n’apparaît dans ce terme.

Maintenant que nous avons établi la notion de degré d’un terme, déterminer si un polynôme est homogène devient plus facile. Pour cela, il suffit de comparer les degrés de tous les termes du polynôme. Si tous les termes ont le même degré, alors le polynôme est homogène. Sinon, le polynôme est non homogène.

Prenons un exemple pour illustrer ce concept. Soit le polynôme P(x,y) = x^3 – 4xy^2 + y^4. Pour déterminer si ce polynôme est homogène, comparons les degrés des termes. Le premier terme, x^3, a un degré de 3. Le deuxième terme, -4xy^2, a un degré de 3 également car l’exposant de x est 1 et celui de y est 2, et leur somme est égale à 3. Enfin, le dernier terme, y^4, a un degré de 4. Comme tous les termes ont des degrés différents, le polynôme P(x,y) n’est pas homogène.

Maintenant, prenons un autre exemple. Soit le polynôme Q(x,y,z) = 2x^2y + 3xyz – 4z^3. Pour déterminer si ce polynôme est homogène, comparons les degrés des termes. Le premier terme, 2x^2y, a un degré de 3 car l’exposant de x est 2 et celui de y est 1, leur somme est égale à 3. Le deuxième terme, 3xyz, a également un degré de 3 car tous les exposants sont égaux à 1 et leur somme est égale à 3. Enfin, le dernier terme, -4z^3, a un degré de 3 également car l’exposant de z est 3. Comme tous les termes ont des degrés identiques, le polynôme Q(x,y,z) est homogène.

En conclusion, pour déterminer si un polynôme est homogène, il suffit de comparer les degrés de tous les termes du polynôme. Si tous les termes ont le même degré, alors le polynôme est homogène. Si les termes ont des degrés différents, alors le polynôme est non homogène. Cette méthode est relativement simple à appliquer et permet de classifier rapidement les polynômes en fonction de leur homogénéité.

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