Une fonction bijective est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Une fonction est injective si elle attribue une seule valeur de l’ensemble d’arrivée à chaque élément de l’ensemble de départ, et elle est surjective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par au moins un élément de l’ensemble de départ. Pour démontrer qu’une fonction est bijective, il faut donc prouver ces deux propriétés. Dans cet article, nous allons examiner les étapes nécessaires pour démontrer qu’une fonction est bijective.

La première étape pour démontrer qu’une fonction est bijective est de montrer qu’elle est injective. Pour ce faire, il faut supposer que deux éléments distincts de l’ensemble de départ ont la même image dans l’ensemble d’arrivée, puis prouver que cela conduit à une contradiction. Prenons par exemple la fonction f(x) = x^2. Pour montrer qu’elle est injective, supposons que f(a) = f(b), avec a et b étant des éléments distincts de l’ensemble de départ. Cela signifie que a^2 = b^2. En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons |a| = |b|. Mais cela signifie que a et b sont soit égaux, soit opposés en valeur absolue. Puisque nous avons supposé qu’ils étaient distincts, cela conduit à une contradiction. Par conséquent, la fonction f(x) = x^2 est injective.

La deuxième étape pour démontrer qu’une fonction est bijective est de montrer qu’elle est surjective. Pour ce faire, il faut montrer que chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par au moins un élément de l’ensemble de départ. Prenons l’exemple de la fonction g(x) = 2x. Pour montrer qu’elle est surjective, nous devons montrer que pour tout y dans l’ensemble d’arrivée, il existe un x dans l’ensemble de départ tel que g(x) = y. En d’autres termes, nous devons résoudre l’équation 2x = y pour x. En divisant les deux côtés de l’équation par 2, nous obtenons x = y/2. Ainsi, pour tout y dans l’ensemble d’arrivée, nous pouvons choisir x = y/2, et nous avons g(x) = 2(y/2) = y. Par conséquent, la fonction g(x) = 2x est surjective.

Maintenant que nous avons prouvé que la fonction f(x) = x^2 est injective et que la fonction g(x) = 2x est surjective, nous pouvons affirmer qu’elles sont bijectives. Cela peut être démontré en utilisant le théorème de composition, qui stipule que si deux fonctions sont bijectives, leur composition est également bijective.

Pour démontrer que f(g(x)) = (2x)^2 est bijective, nous devons montrer qu’elle est injective et surjective. Comme nous avons déjà prouvé que f(x) = x^2 est injective et que g(x) = 2x est surjective, il est facile de démontrer que f(g(x)) est également bijective.

En conclusion, pour démontrer qu’une fonction est bijective, il faut prouver qu’elle est à la fois injective et surjective. La première étape est de supposer que deux éléments distincts de l’ensemble de départ ont la même image dans l’ensemble d’arrivée, puis de prouver qu’il s’agit d’une contradiction. Ensuite, il faut montrer que chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par au moins un élément de l’ensemble de départ. En utilisant le théorème de composition, il est possible de démontrer que si deux fonctions sont bijectives, leur composition est également bijective.

Quest'articolo è stato scritto a titolo esclusivamente informativo e di divulgazione. Per esso non è possibile garantire che sia esente da errori o inesattezze, per cui l’amministratore di questo Sito non assume alcuna responsabilità come indicato nelle note legali pubblicate in Termini e Condizioni
Quanto è stato utile questo articolo?
0Vota per primo questo articolo!