Le déterminant est une notion fondamentale en algèbre linéaire et permet de caractériser les propriétés d’une matrice. Dans cet article, nous allons expliquer comment calculer le déterminant d’une matrice 3×3.

Tout d’abord, définissons ce qu’est une matrice 3×3 : c’est une matrice composée de 3 lignes et 3 colonnes, soit un total de 9 éléments. Elle peut être représentée de la façon suivante :

| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

Pour calculer le déterminant d’une telle matrice, on utilise la formule suivante :

Det(A) = a11(a22*a33 – a23*a32) – a12(a21*a33 – a23*a31) + a13(a21*a32 – a22*a31)

Cette formule peut sembler complexe, mais elle est en réalité assez simple à appliquer. Pour commencer, on va calculer le déterminant de chaque sous-matrice de 2×2 :

| a22 a23 |
| a32 a33 |

La détermination de cette sous-matrice se calcule ainsi : (a22*a33 – a23*a32)

| a21 a23 |
| a31 a33 |

La détermination de cette sous-matrice se calcule ainsi : (a21*a33 – a23*a31)

| a21 a22 |
| a31 a32 |

La détermination de cette sous-matrice se calcule ainsi : (a21*a32 – a22*a31)

On va maintenant utiliser ces déterminants de sous-matrice pour calculer le déterminant de la matrice 3×3. Pour cela, on utilise la formule ci-dessus.

Il est important de noter que cette formule suit une logique bien précise : on prend le premier élément de la première ligne (a11) et on le multiplie par le déterminant de la sous-matrice 2×2 composée des éléments restants de la matrice. Ensuite, on prend le deuxième élément de la première ligne (a12), on le multiplie par le déterminant de la sous-matrice 2×2 composée des éléments restants de la matrice (en excluant cette fois le deuxième élément de la deuxième ligne et le deuxième élément de la deuxième colonne). On continue ainsi jusqu’à atteindre le dernier élément de la première ligne (a13). Enfin, on additionne tous ces résultats.

Voyons un exemple concret pour mieux comprendre. Calculons le déterminant de la matrice suivante :

| 1 2 3 |
| 2 3 4 |
| 3 4 5 |

On commence par calculer le déterminant des sous-matrices 2×2 :

sous-matrice (1,1) : 3*5 – 4*4 = -1
sous-matrice (1,2) : 2*5 – 4*3 = -2
sous-matrice (1,3) : 2*4 – 3*3 = -1

On peut maintenant appliquer la formule pour calculer le déterminant de la matrice 3×3 :

Det(A) = 1*(-1) – 2*(-2) + 3*(-1) = 1

Le déterminant de cette matrice est donc égal à 1.

En conclusion, le déterminant est une notion importante en algèbre linéaire qui permet de caractériser les propriétés d’une matrice. Pour calculer le déterminant d’une matrice 3×3, il suffit d’utiliser la formule qui fait appel aux déterminants de sous-matrice 2×2. Il est important de suivre la logique de cette formule pour ne pas se tromper dans les calculs.

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