La dérivée d’une fonction composée est un concept important en calcul différentiel. Il permet de mesurer le taux de variation d’une fonction complexe à l’aide des dérivées des fonctions qui la composent. Dans cet article, nous allons voir comment calculer la dérivée d’une fonction composée et illustrer cette méthode à travers des exemples.

La première étape pour calculer la dérivée d’une fonction composée consiste à identifier les fonctions qui la constituent. Supposons que nous ayons une fonction composée de la forme f(g(x)). Dans ce cas, f est la fonction extérieure et g est la fonction intérieure.

La deuxième étape consiste à calculer la dérivée de la fonction intérieure g. Pour cela, nous utilisons les règles de dérivation classiques. Si g(x) est une fonction simple, telle que g(x) = x^n, avec n étant un nombre réel, la dérivée de g sera g'(x) = nx^(n-1). Si g(x) est une fonction trigonométrique, exponentielle ou logarithmique, nous utilisons les règles spécifiques à chaque type de fonction pour calculer sa dérivée.

Une fois que nous avons obtenu la dérivée de la fonction intérieure g, nous passons à la troisième étape qui consiste à calculer la dérivée de la fonction extérieure f. Cette étape est similaire à celle du calcul de la dérivée d’une fonction simple, où nous utilisons également les règles de dérivation classiques. Toutefois, à cette étape, nous considérons g(x) comme la variable, car il est le résultat de la fonction intérieure.

Enfin, pour obtenir la dérivée de la fonction composée f(g(x)), nous appliquons la règle de dérivation de la composition des fonctions. Cette règle stipule que la dérivée de la fonction composée est le produit de la dérivée de la fonction extérieure et de la dérivée de la fonction intérieure. Ainsi, la dérivée de f(g(x)) est donnée par (f'(g(x))) * g'(x).

Pour mieux comprendre ce concept, prenons un exemple concret. Supposons que nous ayons la fonction f(x) = (2x+1)^3. Pour calculer la dérivée de cette fonction, nous devons d’abord identifier la fonction intérieure g(x) = 2x+1 et la fonction extérieure f(x) = x^3.

Ensuite, nous calculons la dérivée de la fonction intérieure g(x) en utilisant les règles classiques de dérivation. Dans notre cas, g'(x) = 2.

Ensuite, nous calculons la dérivée de la fonction extérieure f(x). La dérivée de x^n est n*x^(n-1), donc f'(x) = 3(x^2).

Enfin, nous appliquons la règle de dérivation de la composition des fonctions pour obtenir la dérivée de f(g(x)). Dans notre exemple, la dérivée de f(g(x)) est donnée par (f'(g(x))) * g'(x), soit (3(g(x))^2) * 2. En remplaçant g(x) par 2x+1, nous obtenons la dérivée de f(x) = (2x+1)^3, qui est (3(2x+1)^2) * 2.

En conclusion, le calcul de la dérivée d’une fonction composée nécessite d’identifier les fonctions intérieure et extérieure, de calculer leurs dérivées respectives, puis d’appliquer la règle de dérivation de la composition des fonctions. Bien que cela puisse sembler complexe au premier abord, la pratique et la compréhension des règles de dérivation permettent de maîtriser ce concept. Il est important de noter que la dérivée d’une fonction composée peut également être calculée à l’aide de la dérivée logarithmique ou de la dérivée linéaire, selon le contexte.

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