La parabole est une courbe mathématique qui se trouve souvent dans la nature et l’ingénierie. Elle se forme souvent lorsque des objets sont projetés ou lancés de manière parabolique, ou lorsqu’un phénomène physique est contrôlé par une équation parabolique. L’un des aspects les plus importants de la parabole est son sommet, qui représente le point le plus élevé de la courbe. Dans cet article, nous allons expliquer comment calcule-t-on le sommet d’une parabole.

Tout d’abord, il est important de comprendre à quoi ressemble une parabole. Elle est souvent décrite comme une forme similaire à un U inversé, qui est symétrique par rapport à une ligne verticale appelée axe de symétrie. La parabole est définie par une équation de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et x est la variable indépendante. Cette équation est souvent appelée l’équation générale de la parabole.

Le sommet d’une parabole est situé sur l’axe de symétrie et représente le point le plus élevé de la courbe si a > 0 (ou le point le plus bas si a < 0). Pour calculer le sommet, il est nécessaire de trouver les coordonnées x et y de ce point. Il existe plusieurs méthodes pour y parvenir.

Méthode 1 : la forme canonique

La première méthode consiste à convertir l’équation générale de la parabole en sa forme canonique. Cette forme est définie par l’équation f(x) = a(x-h)² + k, où (h,k) sont les coordonnées du sommet. Pour convertir l’équation générale en forme canonique, il est nécessaire de compléter le carré, comme suit :

f(x) = ax² + bx + c
= a(x² + bx/a) + c
= a[(x + b/2a)² – (b/2a)²] + c
= a(x + b/2a)² – ab²/4a + c
= a(x + b/2a)² + (4ac – b²)/4a

Ensuite, on peut identifier les valeurs de h et k :

h = -b/2a
k = (4ac – b²)/4a

Ces coordonnées donnent donc le sommet de la parabole.

Méthode 2 : la dérivée

La deuxième méthode consiste à trouver la dérivée de l’équation générale de la parabole, qui représente la pente de la courbe à un point donné. La pente est maximale au sommet de la parabole, c’est-à-dire que la dérivée s’annule à cet endroit. En résolvant l’équation de la dérivée égale à zéro, on peut trouver la coordonnée x du sommet :

f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b
2ax + b = 0
x = -b/2a

Ensuite, on peut substituer cette valeur dans l’équation générale pour trouver la coordonnée y :

f(x) = ax² + bx + c
y = f(-b/2a)

Ces coordonnées donnent le sommet de la parabole.

Méthode 3 : l’équation du symétrique

La troisième méthode consiste à utiliser l’équation du symétrique. Cette équation décrit la relation entre les coordonnées d’un point sur la parabole et les coordonnées du point symétrique par rapport à l’axe de symétrie. Les coordonnées du sommet sont le point qui est son propre symétrique. L’équation du symétrique est définie comme suit :

(x,y) → (x’,y’)
x’ = 2a – x
y’ = y

En résolvant cette équation pour les coordonnées du point qui est son propre symétrique, on peut trouver les coordonnées du sommet.

Conclusion

Le calcul du sommet d’une parabole est d’une grande importance en mathématiques et en physique. Les méthodes ci-dessus illustrent trois façons différentes d’y arriver. Que ce soit en utilisant la forme canonique, la dérivée ou l’équation du symétrique, le sommet peut être calculé avec précision en appliquant des concepts mathématiques simples. Ces méthodes sont également applicables à d’autres types de courbes, ce qui les rend utiles dans de nombreux domaines scientifiques et techniques.

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