La règle de Ruffini, également connue sous le nom de méthode des coefficients, est un outil mathématique très utile pour effectuer des divisions de polynômes. Cette méthode permet de simplifier les calculs et d’obtenir rapidement le quotient et le reste d’une division de polynômes. Dans cet article, nous allons expliquer en détail comment utiliser la règle de Ruffini pour effectuer des calculs.

Pour commencer, rappelons brièvement ce qu’est un polynôme. Un polynôme est une expression mathématique qui est formée par une somme de termes, où chaque terme est le produit d’une constante appelée coefficient et d’une variable élevée à une certaine puissance. Par exemple, le polynôme P(x) = 3x^2 + 2x + 1 est composé de trois termes : 3x^2, 2x et 1.

Lorsque l’on souhaite diviser un polynôme par un autre polynôme, il est nécessaire d’utiliser la règle de Ruffini. Cette règle permet de diviser un polynôme P(x) par un polynôme de la forme (x – a), appelé diviseur. Pour utiliser la règle de Ruffini, il faut suivre les étapes suivantes :

1. Organisez les termes du polynôme P(x) de manière décroissante en fonction des puissances de la variable x.
2. Placez le coefficient de chaque terme du polynôme P(x) dans une ligne horizontale appelée ligne d’écriture.
3. Écrivez le diviseur dans la première colonne à gauche de la ligne d’écriture.
4. Divisez le premier terme du polynôme P(x) par le diviseur et placez le résultat dans la deuxième colonne.
5. Multipliez le résultat obtenu par le diviseur et placez le résultat dans la colonne correspondante à la puissance de x du terme suivant.
6. Effectuez la soustraction entre les termes de la première et deuxième colonne et placez le résultat dans la troisième colonne.
7. Répétez les étapes 5 et 6 jusqu’à ce que tous les termes du polynôme P(x) aient été divisés.
8. Le dernier reste obtenu sera le reste de la division.

Prenons un exemple concret pour mieux comprendre comment utiliser la règle de Ruffini. Supposons que nous souhaitons diviser le polynôme P(x) = 2x^3 – 3x^2 + 4x – 5 par le diviseur (x – 2). Voici comment procéder :

1. Organisons les termes du polynôme de manière décroissante : 2x^3 – 3x^2 + 4x – 5.
2. Plaçons les coefficients dans la ligne d’écriture : 2 -3 4 -5.
3. Écrivons le diviseur (x – 2) à gauche de la ligne d’écriture.
4. Divisons le premier terme (2) par le diviseur (x – 2). Le résultat est 2.
5. Multiplions 2 par (x – 2) et plaçons le résultat (2x – 4) dans la deuxième colonne.
6. Effectuons la soustraction entre les termes de la première et deuxième colonne : (2x^3 – 3x^2 + 4x – 5) – (2x – 4) = 2x^3 – 3x^2 + 2x – 1.
7. Répétons les étapes 5 et 6 avec les nouveaux termes : 2x^2 + 6x + 7.
8. Continuons les étapes 5 et 6 jusqu’à ce que tous les termes aient été divisés. Dans ce cas, nous obtenons le reste 19.

Ainsi, le résultat de la division du polynôme P(x) par (x – 2) est le quotient Q(x) = 2x^2 + 6x + 7 et le reste R = 19. Cela signifie que le polynôme P(x) peut être exprimé sous la forme P(x) = (x – 2)(2x^2 + 6x + 7) + 19.

En conclusion, la règle de Ruffini est un outil puissant pour effectuer des divisions de polynômes. Cette méthode permet de simplifier les calculs et d’obtenir rapidement le quotient et le reste d’une division. La compréhension et la maîtrise de la règle de Ruffini sont essentielles pour résoudre des problèmes mathématiques avancés impliquant des polynômes.

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