Dans le domaine des mathématiques, les limites occupent une place centrale. Elles permettent de déterminer le comportement d’une fonction quand sa variable indépendante approche une valeur donnée. Pour mieux appréhender ce concept, nous allons nous exercer à calculer des limites à travers différentes situations.
Avant de nous lancer dans les exercices pratiques, rappelons brièvement ce qu’est une limite. Mathématiquement, la limite d’une fonction f en un point a correspond à la valeur vers laquelle tend f lorsque sa variable indépendante x se rapproche de a. On peut noter cela par la notation suivante : lim(f(x)) = L lorsque x tend vers a.
Commençons par calculer une première limite. Soit la fonction f(x) = 2x + 3. Nous souhaitons déterminer la limite de f lorsque x tend vers 2. Pour cela, nous remplaçons simplement x par la valeur 2 dans l’expression de f(x) : f(2) = 2 * 2 + 3 = 7. Nous pouvons donc conclure que lim(f(x)) = 7 lorsque x tend vers 2.
Poursuivons avec un exercice un peu plus complexe. Soit la fonction g(x) = (x^2 – 4) / (x – 2). Nous voulons calculer la limite de g lorsque x tend vers 2. Si nous remplaçons directement x par 2 dans l’expression de g(x), nous obtenons une indétermination (0/0), ce qui ne nous donne pas d’information sur la limite. Pour contourner cette difficulté, nous pouvons simplifier l’expression de g(x) en factorisant le numérateur : g(x) = (x – 2)(x + 2) / (x – 2). Nous remarquons alors que le facteur (x – 2) se simplifie dans le numérateur et le dénominateur. Ainsi, g(x) devient simplement g(x) = x + 2. Maintenant, nous pouvons calculer directement la limite de g en remplacant x par 2 dans cette nouvelle expression : g(2) = 2 + 2 = 4. Donc, lim(g(x)) = 4 quand x tend vers 2.
Passons à un autre exercice qui nécessite une petite astuce. Considérons la fonction h(x) = (3x^2 – 2x) / (x – 1). Si nous tentons de remplacer directement x par 1 dans l’expression de h(x), nous obtenons encore une indétermination (0/0). Cependant, nous pouvons remarquer que le numérateur peut être factorisé en utilisant la méthode d’identification des facteurs communs : h(x) = x(3x – 2) / (x – 1). Maintenant, nous observons que le facteur (x – 1) apparaît dans le numérateur et le dénominateur de h(x). Nous pouvons donc simplifier l’expression en supprimant ce facteur commun : h(x) = x(3x – 2). Il devient maintenant possible de calculer directement la limite de h en remplaçant x par 1 : h(1) = 1(3 – 2) = 1. Ainsi, nous obtenons lim(h(x)) = 1 quand x tend vers 1.
Ces exercices pratiques illustrent l’importance de la manipulation algébrique et des astuces de simplification pour calculer les limites de certaines fonctions. Il est crucial de pouvoir identifier les indéterminations et de chercher des façons de les contourner pour obtenir une réponse précise.
En conclusion, calculer les limites est un exercice fondamental en mathématiques. En utilisant des techniques de simplification et d’identification des facteurs communs, il est possible de déterminer la limite d’une fonction pour une variable qui tend vers une valeur donnée. Ces exercices pratiques nous permettent de mieux comprendre ce concept et de développer nos compétences en calcul de limites.