Les divisions entre polynômes sont une opération fondamentale en mathématiques. Elle permet de diviser un polynôme par un autre afin de simplifier l’expression et de résoudre certains problèmes mathématiques. Dans cet article, nous allons expliquer comment calculer les divisions entre polynômes.

Un polynôme est une expression mathématique constituée de termes ayant une variable élevée à une certaine puissance, multipliée par un coefficient. Par exemple, le polynôme 3x^2 + 2x + 1 a trois termes : 3x^2, 2x et 1.

Pour diviser un polynôme par un autre, il convient de suivre une méthode spécifique appelée « division synthétique ». Cette méthode est basée sur la division entre les termes de plus haut degré des deux polynômes.

Dans un premier temps, il est nécessaire de s’assurer que les polynômes sont écrits dans l’ordre décroissant des puissances de la variable. Cette étape est essentielle pour appliquer correctement la division synthétique.

Ensuite, on compare le terme de plus haut degré du polynôme à diviser avec le terme de plus haut degré du polynôme diviseur. Prenons un exemple concret : divisons le polynôme 3x^2 + 2x + 1 par le polynôme x + 1.

Le terme de plus haut degré du polynôme à diviser est 3x^2, et celui du polynôme diviseur est x. Afin d’effectuer la division, nous devons trouver un terme qui, multiplié par le terme de plus haut degré du polynôme diviseur, donne le terme de plus haut degré du polynôme à diviser. Dans notre exemple, nous devons trouver un terme a tel que a * x = 3x^2. Le terme a est donc 3x.

Maintenant, nous multiplions le polynôme diviseur par le terme a (3x) :

(a * x + a) * (x + 1) = (3x * x + 3x) * (x + 1) = 3x^2 + 3x

Nous devons ensuite soustraire le résultat obtenu du polynôme à diviser. Dans notre exemple, la soustraction donne :

(3x^2 + 2x + 1) – (3x^2 + 3x) = -x + 1

Nous répétons ensuite les étapes précédentes en comparant le terme de plus haut degré du polynôme obtenu avec le terme de plus haut degré du polynôme diviseur. Cette fois-ci, nous devons trouver un terme b tel que b * x = -x. Le terme b est donc -1.

Nous multiplions à nouveau le polynôme diviseur par le terme b (-1) :

(b * x + b) * (x + 1) = (-x + -1) * (x + 1) = -x^2 -x

Nous soustrayons ensuite le résultat obtenu du polynôme précédent :

(-x + 1) – (-x^2 – x) = x^2 + 2x + 1

Nous continuons de cette manière jusqu’à ce que le degré du polynôme obtenu soit inférieur au degré du polynôme diviseur. Dans notre exemple, le polynôme obtenu (x^2 + 2x + 1) est de degré 2, tandis que le polynôme diviseur (x + 1) est de degré 1. Nous avons donc terminé la division.

Le résultat final de la division est la somme des termes a, b, etc., que nous avons trouvés à chaque étape. Dans notre exemple, le résultat est 3x – 1.

En conclusion, les divisions entre polynômes sont un outil essentiel pour simplifier les expressions mathématiques et résoudre certains problèmes mathématiques. La méthode de division synthétique permet de calculer facilement ces divisions en suivant un processus clair et logique.

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