Pour comprendre l’équation d’une parabole, nous devons nous pencher sur ses trois points les plus importants. Une parabole est une courbe en forme de U qui possède une équation générale, représentée par la fonction quadratique f(x) = ax² + bx + c. Cette équation est déterminée par les coefficients a, b et c, qui peuvent être calculés à l’aide de trois points connus de la parabole.

Imaginons que nous ayons trois points sur la parabole, les coordonnées étant (x₁, y₁), (x₂, y₂) et (x₃, y₃). Pour simplifier notre calcul, nous allons supposer que ces points ne sont pas alignés verticalement, ce qui signifie que x₁, x₂ et x₃ sont tous différents.

Notre première étape consiste à substituer les coordonnées du premier point, (x₁, y₁), dans l’équation de la parabole. Cela nous donne l’équation suivante : y₁ = ax₁² + bx₁ + c.

Nous répétons maintenant cette étape pour les deux autres points sur la parabole. Cela nous donne deux autres équations : y₂ = ax₂² + bx₂ + c et y₃ = ax₃² + bx₃ + c.

Nous avons donc maintenant trois équations qui doivent toutes être satisfaites pour que les points appartiennent à la parabole. Notre objectif est de trouver les valeurs des coefficients a, b et c qui satisferont ces équations.

Pour résoudre ce système d’équations, nous utilisons la méthode de substitution. Nous commençons par isoler c dans la première équation en soustrayant ax₁² et bx₁ des deux côtés. Cela nous donne c = y₁ – ax₁² – bx₁.

Maintenant, nous substituons cette expression pour c dans les deux autres équations. Cela nous donne : y₂ = ax₂² + bx₂ + (y₁ – ax₁² – bx₁) et y₃ = ax₃² + bx₃ + (y₁ – ax₁² – bx₁).

Nous simplifions ces équations pour obtenir : y₂ – y₁ = ax₂² – ax₁² + bx₂ – bx₁ et y₃ – y₁ = ax₃² – ax₁² + bx₃ – bx₁.

Il est important de noter que nous avons maintenant deux équations avec seulement deux inconnues (a et b), ce qui signifie que nous pouvons les résoudre facilement. Nous soustrayons la première équation de la deuxième pour éliminer les termes bx₂ et bx₃, ce qui donne : (y₃ – y₁) – (y₂ – y₁) = (ax₃² – ax₁²) – (ax₂² – ax₁²)

Nous simplifions cette équation pour obtenir : y₃ – y₁ – y₂ + y₁ = ax₃² – ax₁² – ax₂² + ax₁², ce qui donne finalement : y₃ – y₂ = ax₃² – ax₂².

Nous factorisons a de chaque côté : a(x₃² – x₂²) = y₃ – y₂.

Pour isoler a, nous divisons les deux côtés de l’équation par x₃² – x₂², et cela nous donne : a = (y₃ – y₂) / (x₃² – x₂²).

Maintenant que nous avons trouvé la valeur de a, nous pouvons utiliser n’importe laquelle des trois équations originales pour calculer b. Par exemple, nous utilisons à nouveau la première équation, y₁ = ax₁² + bx₁ + c. Nous substituons les valeurs connues de x₁ et y₁ ainsi que la valeur que nous avons trouvée pour a, et nous réorganisons l’équation pour isoler b.

Une fois que nous avons trouvé les valeurs de a et b, nous pouvons substituer ces valeurs dans l’une des équations originales pour trouver la valeur de c.

En conclusion, connaître trois points sur une parabole nous permet de calculer les coefficients a, b et c de son équation. En utilisant la méthode de substitution, nous pouvons simplifier les équations et isoler les coefficients.

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