Appliquer la règle de Ruffini

La règle de Ruffini, également connue sous le nom de méthode de la division synthétique, est une méthode algébrique utilisée pour diviser des polynômes. Développée par Paolo Ruffini au 18e siècle, elle est encore largement utilisée de nos jours pour simplifier les calculs et résoudre des problèmes mathématiques. Dans cet article, nous allons explorer en détail cette règle et expliquer comment l’appliquer.

La règle de Ruffini est utilisée pour diviser un polynôme par un binôme de la forme (x-a), où « a » est une constante. Pour commencer, nous devons organiser le polynôme en fonction de ses degrés, de manière décroissante. Par exemple, si nous voulons diviser le polynôme P(x) = 3x^3 + 2x^2 – 5x + 1 par (x-2), nous devons réarranger les termes en ordre décroissant des degrés : 3x^3 + 2x^2 – 5x + 1.

Ensuite, nous écrivons la constante « a » en dehors de la division synthétique et nous insérons les coefficients des termes du polynôme dans une rangée juste en dessous. Dans notre exemple, « a » vaut 2 et nous avons donc :

2 |

3 2 -5 1

La prochaine étape consiste à effectuer la division synthétique, en procédant de gauche à droite. Nous multiplions la constante « a » par le premier coefficient du polynôme, dans ce cas 3, et plaçons le résultat sous le deuxième coefficient : 2x + 3.

Ensuite, nous ajoutons ces deux termes : -5 + (2x+3) = 2x – 2.

Nous répétons le processus en multipliant « a » par le nouveau terme obtenu (2), et en ajoutant ce terme au suivant dans le polynôme : 1 + (2x – 2) = 2x – 1.

Si la dernière ligne obtenue correspond à un polynôme de degré 1 (x^1) ou inférieur, alors le résultat de la division est valide. Dans ce cas, notre polynôme se résume à 2x – 1.

Une autre manière de visualiser cela est d’écrire l’expression complète de notre polynôme avec le résultat obtenu en divisant : P(x) = (x – 2)(2x – 1) + 0.

Cette expression est ce qu’on appelle la forme factorisée du polynôme d’origine. Elle indique que si nous multiplions (x – 2) par (2x – 1), nous obtenons à nouveau notre polynôme initial, c’est-à-dire 3x^3 + 2x^2 – 5x + 1.

La règle de Ruffini facilite grandement le processus de division des polynômes, en réduisant le nombre d’étapes nécessaires par rapport à d’autres méthodes. Elle est particulièrement utile pour résoudre certains problèmes mathématiques, tels que la recherche de racines d’un polynôme ou la simplification de calculs complexes.

Cependant, il convient de noter que la règle de Ruffini ne peut être utilisée que pour diviser des polynômes par des binômes de la forme (x-a). Si nous devons diviser un polynôme par un autre type de polynôme, il est nécessaire d’utiliser d’autres méthodes telles que la méthode de longue division.

En conclusion, la règle de Ruffini est une méthode algébrique puissante pour diviser des polynômes. Elle permet d’obtenir des résultats précis et d’économiser du temps dans les calculs mathématiques. Connaitre et comprendre cette règle peut être extrêmement bénéfique pour résoudre des équations polynomiales et faciliter notre compréhension des mathématiques.