Application de la méthode de substitution pour résoudre des exercices

La méthode de substitution repose sur le principe de substitution, qui consiste à remplacer une variable par une autre pour simplifier une équation. L’objectif est de transformer une équation initiale en une nouvelle équation équivalente, mais plus facile à résoudre. Pour cela, il est nécessaire de trouver une expression pour la variable de substitution en fonction des autres variables.

Prenons un exemple concret pour mieux comprendre cette méthode. Supposons que nous devons résoudre l’équation suivante : 2x + 3y = 10 et x – y = 2. Nous pouvons résoudre ce système d’équations en utilisant la méthode de substitution.

Tout d’abord, choisissons l’équation x – y = 2 pour trouver une expression pour la variable x. En isolant x, nous avons x = y + 2. Maintenant, nous pouvons remplacer x dans la première équation par cette expression : 2(y + 2) + 3y = 10. En simplifiant cette équation, nous obtenons : 2y + 4 + 3y = 10. En regroupant les termes similaires, nous obtenons 5y + 4 = 10.

Maintenant, nous pouvons résoudre cette équation pour trouver la valeur de y. En isolant y, nous obtenons : 5y = 10 – 4, soit 5y = 6. En divisant des deux côtés par 5, nous avons y = 6/5, soit y = 1,2. Maintenant que nous connaissons la valeur de y, nous pouvons trouver la valeur de x en utilisant l’équation x = y + 2. Substituant y par 1,2, nous obtenons donc x = 1,2 + 2, soit x = 3,2.

Ainsi, nous avons trouvé les valeurs des variables x et y qui résolvent le système d’équations initial. Dans cet exemple, la méthode de substitution nous a permis de simplifier les équations en remplaçant une variable par une autre et de trouver une solution.

Maintenant, examinons un autre exemple pour illustrer davantage l’utilisation de la méthode de substitution. Supposons que nous devons résoudre l’équation quadratique suivante : x² + 5x – 6 = 0. Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la méthode de substitution.

Nous devons trouver une variable de substitution qui simplifie cette équation. Dans ce cas, nous pouvons choisir u = x + 2 comme variable de substitution. En substituant cette expression dans l’équation initiale, nous obtenons : (u – 2)² + 5(u – 2) – 6 = 0. En développant cette équation, nous obtenons u² – 4u + 4 + 5u – 10 – 6 = 0. En simplifiant cette équation, nous obtenons u² + u – 12 = 0.

Maintenant, nous pouvons résoudre cette nouvelle équation en utilisant les techniques de résolution des équations quadratiques. Nous pouvons factoriser cette équation en (u – 3)(u + 4) = 0. Ainsi, nous avons deux solutions possibles : u – 3 = 0, soit u = 3, et u + 4 = 0, soit u = -4.

Maintenant que nous connaissons les valeurs de u, nous pouvons résoudre pour x en utilisant l’équation de substitution u = x + 2. Substituant u par 3, nous avons donc x + 2 = 3, soit x = 1. De même, substituant u par -4, nous obtenons x + 2 = -4, soit x = -6.

Dans cet exemple, l’utilisation de la méthode de substitution a permis de simplifier une équation quadratique complexe en remplaçant la variable x par la variable de substitution u = x + 2. En résolvant l’équation simplifiée et en substituant les valeurs de u dans l’équation de substitution, nous avons pu trouver les valeurs de x qui satisfont l’équation initiale.

En conclusion, l’application de la méthode de substitution est une technique mathématique efficace pour résoudre des exercices complexes. Cette méthode consiste à remplacer une variable par une autre pour simplifier une équation. En trouvant une expression pour la variable de substitution en fonction des autres variables, il est possible de transformer une équation initiale en une nouvelle équation équivalente, plus facile à résoudre. En utilisant des exemples concrets, nous avons illustré l’utilisation de cette méthode pour résoudre des systèmes d’équations et des équations quadratiques.