Angle total des coins extérieurs d'un hexagone

Pour comprendre comment cette somme de 360 degrés est obtenue, il est important de savoir que chaque coin extérieur d’un hexagone est un angle saillant. Un angle saillant est un angle dont la mesure est supérieure à 180 degrés. Prenons un exemple concret pour illustrer cette notion.

Imaginez un hexagone régulier, où tous les côtés ont la même longueur et tous les angles intérieurs ont la même mesure. Dans un tel hexagone régulier, chaque angle intérieur mesure 120 degrés. Maintenant, si nous prolongeons les côtés pour former des angles extérieurs, nous pouvons constater que chaque angle extérieur mesure 60 degrés. Si nous additionnons les mesures de tous les angles extérieurs, nous obtenons 6 angles de 60 degrés, soit une somme totale de 360 degrés.

Cette propriété peut également être formulée d’une autre manière. La somme des angles extérieurs d’un polygone quelconque est toujours égale à 360 degrés. C’est-à-dire que même si les angles intérieurs ou les longueurs des côtés sont différents, la somme des angles extérieurs reste constante.

Il est intéressant de noter que cette propriété peut être observée dans d’autres polygones également. Par exemple, dans un pentagone (figure à cinq côtés), la somme des angles extérieurs est de 360 degrés. De même, dans un heptagone (figure à sept côtés), la somme des angles extérieurs est également de 360 degrés.

L’explication mathématique de cette propriété repose sur le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Ainsi, si vous tracez une diagonale entre chaque coin d’un hexagone régulier, vous obtiendrez quatre triangles équilatéraux. Chaque angle extérieur sera donc la somme des deux angles intérieurs d’un triangle équilatéral, soit deux fois 60 degrés, soit 120 degrés.

En généralisant, si vous divisez un polygone à n côtés en triangles équilatéraux, vous obtiendrez donc n triangles dont la somme des angles est de n*180 degrés. Puisque chaque angle extérieur est la somme de deux angles intérieurs, la somme des angles extérieurs est donc de n*(180/2) degrés, soit n*90 degrés. Ainsi, pour un hexagone, cela donne 6*90 degrés, soit 540 degrés. Mais comme nous avons des angles saillants, il faut soustraire 180 degrés (soit 2*90 degrés) pour satisfaire la règle d’angle saillant, ce qui nous donne 6*90 – 180 = 360 degrés.

En conclusion, la somme des mesures des angles extérieurs d’un hexagone est toujours égale à 360 degrés, quelle que soit la taille ou la forme de l’hexagone étudié. Cette propriété est une conséquence intéressante de la géométrie et peut être généralisée aux autres polygones également.