Ejercicios sobre la función par e impar

La función par e impar es un concepto fundamental en el ámbito de las matemáticas. Entender cómo trabajan estas funciones y cómo se pueden identificar es crucial para resolver problemas y ejercicios relacionados con ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En este artículo, exploraremos algunos ejercicios sobre la función par e impar y cómo podemos aplicar estos conceptos en la resolución de problemas. Primero, es importante comprender qué significa que una función sea par o impar. Una función par es aquella en la que se cumple que f(x) = f(-x) para todos los valores de x en su dominio. Esto significa que, si reflejamos la función en el eje vertical (eje de las ordenadas), obtendremos la misma función original. Por otro lado, una función impar es aquella en la que se cumple que f(x) = -f(-x) para todos los valores de x en su dominio. Esto significa que, si reflejamos la función en el origen de coordenadas, obtendremos la misma función pero invertida en sentido vertical. Ahora, vamos a ver algunos ejercicios sobre la función par e impar: 1. Determina si la función f(x) = x^3 - x es par, impar o ninguna de las dos. Para ello, vamos a evaluar la función en f(-x): f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x Si comparamos esta expresión con la función original, podemos observar que f(-x) no es igual a f(x), ni a -f(x). Por lo tanto, la función f(x) no es ni par ni impar. 2. Determina si la función g(x) = 2x^2 - 5 es par, impar o ninguna de las dos. Para ello, vamos a evaluar la función en g(-x): g(-x) = 2(-x)^2 - 5 = 2x^2 - 5 En este caso, podemos ver que g(-x) es igual a la función original, g(x). Por lo tanto, la función g(x) es par. 3. Encuentra una función que sea par y otra que sea impar, ambas definidas en el intervalo [-2, 2]. Para encontrar una función par, podemos utilizar f(x) = x^2. Si evaluamos f(-x), obtenemos f(-x) = (-x)^2 = x^2, que es igual a la función original. Por lo tanto, f(x) = x^2 es una función par. Para encontrar una función impar, podemos utilizar g(x) = x^3. Si evaluamos g(-x), obtenemos g(-x) = (-x)^3 = -x^3, que es igual a la función original pero invertida en sentido vertical. Por lo tanto, g(x) = x^3 es una función impar. 4. Resolver la ecuación x^4 + 3x^2 - 4 = 0. Para resolver esta ecuación, podemos hacer un cambio de variable y sustituir x^2 con y. La ecuación se convierte en y^2 + 3y - 4 = 0. Ahora, podemos factorizar esta ecuación como (y + 4)(y - 1) = 0. Entonces, y + 4 = 0 o y - 1 = 0. Si resolvemos estas dos ecuaciones, obtenemos y = -4 o y = 1. Ahora, volvemos al cambio de variable y sustituimos y con x^2. Entonces, x^2 = -4 o x^2 = 1. Si resolvemos estas dos ecuaciones, obtenemos x = ±2i o x = ±1. Por lo tanto, las soluciones de la ecuación original son x = ±2i o x = ±1. En conclusión, comprender y practicar ejercicios sobre la función par e impar es fundamental para fortalecer nuestras habilidades matemáticas. Estos conceptos nos ayudan a resolver problemas y ecuaciones de manera más eficiente y precisa. Así que no olvides practicar y familiarizarte con estas funciones, ¡te serán de gran utilidad en el mundo de las matemáticas!