Ejercicios en el plano cartesiano: soluciones

Ejercicios en el plano cartesiano: soluciones El plano cartesiano es una herramienta matemática muy útil para representar gráficamente problemas y soluciones a través de puntos y líneas. En este artículo, nos centraremos en algunos ejercicios comunes en el plano cartesiano y sus soluciones. Primer ejercicio: Dado el punto A(2,3), encuentra el punto B que está a una distancia de 5 unidades del punto A. Solución: Para resolver este ejercicio, podemos usar el concepto de distancia entre puntos en el plano cartesiano. Supongamos que las coordenadas del punto B son (x, y). Usando la fórmula de distancia entre dos puntos, tenemos: √[(x-2)² + (y-3)²] = 5 Simplificando esta ecuación, obtenemos: (x-2)² + (y-3)² = 25 Esta ecuación representa una circunferencia con centro en el punto A y radio de 5 unidades. Ahora, podemos graficar la circunferencia y obtener distintos puntos B que satisfagan esta ecuación. Por lo tanto, hay múltiples soluciones a este ejercicio. Segundo ejercicio: Dado el punto A(1,2) y la recta y = 2x + 1, encuentra el punto B donde la recta intersecta con el eje x. Solución: Para resolver este ejercicio, vamos a igualar la ecuación de la recta con y = 0, ya que estamos buscando el punto de intersección con el eje x. Entonces, tenemos: 0 = 2x + 1 Simplificando esta ecuación, obtenemos: 2x = -1 x = -1/2 Por lo tanto, el punto de intersección B es (-1/2, 0). Tercer ejercicio: Dada la recta y = -3x + 4 y el punto A(2,1), encuentra el punto B que está en la recta y es equidistante al punto A y al origen. Solución: Para resolver este ejercicio, podemos usar el concepto de distancia entre un punto y una recta en el plano cartesiano. Primero, necesitamos encontrar la ecuación de la recta perpendicular a y = -3x + 4 que pase por el origen. La pendiente de la recta perpendicular es el inverso negativo de la pendiente de la recta dada. La pendiente de la recta dada es -3, por lo tanto, la pendiente de la recta perpendicular es 1/3. La ecuación de esta recta es y = (1/3)x. Ahora, vamos a encontrar el punto de intersección entre estas dos rectas. Igualando las ecuaciones, tenemos: -3x + 4 = (1/3)x Multiplicando toda la ecuación por 3 para deshacernos del denominador, obtenemos: -9x + 12 = x 10x = 12 x = 12/10 = 6/5 Sustituyendo el valor de x en la ecuación y = -3x + 4, obtenemos: y = -3(6/5) + 4 y = -18/5 + 4 y = -18/5 + 20/5 y = 2/5 Por lo tanto, el punto de intersección B es (6/5, 2/5). Estos son solo algunos ejemplos de ejercicios en el plano cartesiano y sus soluciones. El plano cartesiano es una herramienta versátil y poderosa que nos permite visualizar y resolver problemas matemáticos de una manera más clara y concisa. Si practicamos regularmente con ejercicios en el plano cartesiano, podemos mejorar nuestra comprensión de los conceptos matemáticos y desarrollar habilidades analíticas. ¡Anímate a practicar más ejercicios en el plano cartesiano y verás cómo mejora tu desempeño en matemáticas!