Cómo encontrar la imagen de una función mediante cálculo

En el estudio de las funciones, uno de los aspectos más importantes es poder determinar la imagen de una función, es decir, el conjunto de todos los valores posibles que la función puede tomar. Para lograr esto, recurrimos al cálculo. Antes de adentrarnos en el tema, es importante comprender qué es una función. Una función es una relación matemática que asigna a cada elemento de un conjunto A (llamado dominio) un único elemento de otro conjunto B (llamado codominio). Dicho esto, para encontrar la imagen de una función, debemos seguir una serie de pasos: 1. Identificar el dominio de la función: El dominio es el conjunto de todos los valores que pueden ser tomados por la variable independiente en la función. Es importante identificar el dominio antes de encontrar la imagen. 2. Determinar la expresión de la función: Una vez identificado el dominio, debemos encontrar la expresión de la función. Esto se logra al establecer una relación matemática entre la variable independiente y la variable dependiente. Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = 2x + 1, la expresión de la función es 2x + 1. 3. Calcular la imagen de la función: Ahora que tenemos la expresión de la función, podemos calcular la imagen. Para esto, sustituimos los valores de la variable independiente en la función y realizamos las operaciones correspondientes. Por ejemplo, si queremos encontrar la imagen de la función f(x) = 2x + 1 para x = 2, sustituimos x por 2 en la expresión de la función: f(2) = 2(2) + 1 = 5. Por lo tanto, la imagen de la función para x = 2 es 5. 4. Encontrar el conjunto de imágenes: El último paso es encontrar todos los posibles valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, el conjunto de imágenes de la función. Para esto, sustituimos distintos valores en el dominio en la expresión de la función y realizamos las operaciones correspondientes. Por ejemplo, si queremos encontrar el conjunto de imágenes de la función f(x) = 2x + 1 para x = -1, 0, 1, 2, sustituimos cada valor en la función: f(-1) = 2(-1) + 1 = -1, f(0) = 2(0) + 1 = 1, f(1) = 2(1) + 1 = 3, f(2) = 2(2) + 1 = 5. Por lo tanto, el conjunto de imágenes de la función para esos valores del dominio es {-1, 1, 3, 5}. En resumen, mediante el cálculo podemos encontrar la imagen de una función siguiendo una serie de pasos. Identificamos el dominio, determinamos la expresión de la función, calculamos la imagen para un valor específico de la variable independiente y encontramos el conjunto de imágenes para diferentes valores del dominio. El estudio de la imagen de una función es fundamental para entender su comportamiento y su relación entre los conjuntos.