Cómo calcular el intervalo de convergencia de una serie

Cuando estudiamos series matemáticas, una de las preguntas más comunes es determinar si la serie converge o diverge, es decir, si la suma de todos sus términos es finita o infinita. Sin embargo, no siempre es suficiente determinar esto, también nos interesa saber en qué intervalo la serie converge. En este artículo explicaremos cómo calcular el intervalo de convergencia de una serie.

¿Qué es una serie convergente?

Una serie convergente es aquella cuya suma de términos es finita. Por ejemplo, la serie 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... es una serie convergente cuya suma es igual a 1. Por otro lado, una serie divergente es aquella cuya suma de términos es infinita, como la serie 1 + 2 + 3 + ...

¿Qué es el intervalo de convergencia?

El intervalo de convergencia de una serie es el conjunto de valores para los cuales la serie converge. La serie puede ser convergente en un intervalo abierto, cerrado o semi-abierto.

¿Cómo calcular el intervalo de convergencia?

Para calcular el intervalo de convergencia de una serie, utilizamos el criterio de convergencia de Cauchy-Hadamard, que nos dice que el radio de convergencia de una serie es el límite de la raíz enésima del valor absoluto de los términos de la serie.

Ejemplo de cálculo del intervalo de convergencia

Tomemos como ejemplo la serie: Sumatoria desde n = 0 hasta el infinito de (-1)^n * x^n/n! Para calcular el intervalo de convergencia de esta serie, aplicamos el criterio de convergencia de Cauchy-Hadamard. Primero, calculamos el límite de la raíz enésima del valor absoluto de los términos de la serie: Limite cuando n tiende a infinito de la raíz enésima de |(-1)^n * x^n/n!| = Limite cuando n tiende a infinito de |x|^(1/n) El límite de esta expresión es 1 si x = 1, y es 0 si x < 1. Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie es (-1, 1].

Cómo determinar si los extremos del intervalo son convergentes

En el ejemplo anterior, debemos verificar si los extremos -1 y 1 son convergentes. Para ello, sustituimos x = -1 y x = 1 en la serie y verificamos si la serie converge con esos valores. Si la serie converge con x = -1 y diverge con x = 1, entonces el intervalo de convergencia es (-1, 1).

Intervalo de convergencia para series de potencias

En el caso de series de potencias, el intervalo de convergencia es un intervalo simétrico en torno al punto central de la serie. La serie de potencias se define como la suma de los términos a_n * (x - c)^n, donde c es el punto central. Para calcular el intervalo de convergencia de una serie de potencias, se utiliza el criterio de convergencia de Cauchy-Hadamard. En resumen, calcular el intervalo de convergencia de una serie es una tarea fundamental para entender su comportamiento y determinar si la serie es convergente o divergente. Para ello, se utiliza el criterio de convergencia de Cauchy-Hadamard, que nos proporciona el radio de convergencia de la serie. Es importante recordar que el intervalo de convergencia puede ser abierto, cerrado o semi-abierto, y que los extremos del intervalo deben ser verificados por separado para determinar si son convergentes o divergentes.