Al resolver una ecuación, es fundamental encontrar las soluciones reales, es decir, los valores que satisfacen la igualdad. En este artículo, exploraremos las soluciones reales para una ecuación específica en función del valor de k. Veremos cómo podemos determinar qué valores de k hacen que la ecuación tenga soluciones reales y cuáles no.

Qué es una solución real en una ecuación?

Antes de adentrarnos en las soluciones reales para valores específicos de k, es importante comprender qué significa que una solución sea «real» en el contexto de las ecuaciones. Una solución real es aquella que hace que la ecuación sea verdadera cuando se sustituye por la variable en cuestión.

Por ejemplo, consideremos la ecuación:

x² – 4 = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones reales: x = 2 y x = -2. Si sustituimos cualquiera de estos valores en la ecuación, la igualdad se mantiene y se vuelve verdadera.

Cómo determinar los valores de k para soluciones reales?

Tomemos como ejemplo la siguiente ecuación:

kx² + 5x – 2 = 0

Para determinar qué valores de k hacen que esta ecuación tenga soluciones reales, podemos utilizar el discriminante. El discriminante es una fórmula matemática que nos permite determinar la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática.

El discriminante se calcula de la siguiente manera:

Discriminante (Δ) = b² – 4ac

Para nuestra ecuación, los valores son: a = k, b = 5 y c = -2. Sustituyendo estos valores en la fórmula del discriminante, obtenemos:

Δ = 5² – 4(k)(-2)

Simplificando la expresión, obtenemos:

Δ = 25 + 8k

Ahora, para que la ecuación tenga soluciones reales, el discriminante debe ser mayor o igual a cero (Δ ≥ 0). Por lo tanto, podemos establecer la siguiente desigualdad:

25 + 8k ≥ 0

Si resolvemos esta desigualdad, encontramos que los valores posibles de k para los cuales la ecuación tiene soluciones reales son:

  • k ≥ -25/8

Por lo tanto, cualquier valor de k mayor o igual a -25/8 hará que la ecuación tenga soluciones reales. Si k es menor que -25/8, la ecuación no tendrá soluciones reales.

En resumen, para determinar los valores de k que hacen que una ecuación cuadrática tenga soluciones reales, podemos utilizar el discriminante. Si el discriminante es mayor o igual a cero, la ecuación tiene soluciones reales. De lo contrario, no las tiene. En el caso específico de la ecuación kx² + 5x – 2 = 0, encontramos que los valores de k mayores o iguales a -25/8 son los que hacen que la ecuación tenga soluciones reales.

Al entender cómo encontrar soluciones reales en una ecuación para diferentes valores de k, podemos resolver problemas más complejos y aplicar este conocimiento a situaciones del mundo real.

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