Die Berechnung der Standardabweichung ist ein wichtiger Schritt bei der statistischen Datenanalyse und bietet Einblicke in die Streuung von Daten. Die Standardabweichung misst, wie weit die einzelnen Werte von ihrem Durchschnitt abweichen und gibt somit Auskunft über die Varianz innerhalb einer Stichprobe oder einer Population. In diesem Artikel werden wir die grundlegende Formel zur Berechnung der Standardabweichung erläutern.

Um die Standardabweichung zu berechnen, muss man zuerst den Durchschnitt der Datenwerte ermitteln. Dazu werden alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte geteilt. Angenommen, wir haben die Stichprobe {2, 4, 6, 8, 10}, dann ergibt sich der Durchschnitt (auch als arithmetisches Mittel bezeichnet) wie folgt:

(2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 30 / 5 = 6

Der Durchschnitt unserer Stichprobe beträgt also 6.

Im nächsten Schritt müssen wir die Abweichungen der einzelnen Werte vom Durchschnitt berechnen. Dazu ziehen wir den Durchschnitt von jedem Wert ab. In unserem Beispiel sieht das wie folgt aus:

2 – 6 = -4
4 – 6 = -2
6 – 6 = 0
8 – 6 = 2
10 – 6 = 4

Als nächstes quadrieren wir jede dieser Abweichungen und summieren sie. Das Quadrat dient dazu, negative Abweichungen positiv zu machen und somit die Streuung um den Durchschnitt zu berücksichtigen. Im Fall unserer Beispiel-Stichprobe erhalten wir:

(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

Um die Standardabweichung zu berechnen, teilen wir diese Summe durch die Anzahl der Werte minus Eins (in unserem Fall also 5-1=4) und ziehen die Wurzel aus dem Ergebnis. Das sieht folgendermaßen aus:

√(40/4) = √10 ≈ 3,16

Die Standardabweichung unserer Stichprobe beträgt also etwa 3,16.

Es gibt auch eine vereinfachte Formel zur Berechnung der Standardabweichung, die sich besonders für große Datenmengen eignet. Anstatt die einzelnen Abweichungen zu quadrieren und anschließend zu summieren, berechnet man hier zunächst die Summe der quadrierten Datenwerte und zieht davon das Quadrat des Durchschnitts ab. Das sieht so aus:

√((2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2)/5 – (6)^2)

= √((4 + 16 + 36 + 64 + 100)/5 – 36)

= √(220/5 – 36)

= √(44 – 36)

= √8 ≈ 2,83

Auch hier erhalten wir eine ähnliche Standardabweichung von etwa 2,83.

Die Standardabweichung ist ein wichtiges Maß, um die Streuung von Daten zu analysieren und mögliche Ausreißer zu identifizieren. Je größer die Standardabweichung, desto größer ist die Streuung um den Durchschnitt herum. Sie wird in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen verwendet, wie der Wirtschaft, der Psychologie, der Biologie oder der Soziologie. Die Berechnung der Standardabweichung ist ein einfacher Prozess und ermöglicht eine statistische Analyse der Varianz innerhalb von Daten.

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