Übungen zur Ruffini-Zerlegung

Die Ruffini-Zerlegung ist eine wichtige mathematische Methode, die in der Algebra verwendet wird, um Polynome in ihre irreduziblen Faktoren zu zerlegen. Diese Zerlegung hilft uns dabei, komplexe Polynomgleichungen leichter zu lösen und ermöglicht es uns, ihre Eigenschaften und Verhaltensweisen besser zu verstehen.

Um die Ruffini-Zerlegung besser zu verstehen und anwenden zu können, ist es wichtig, zunächst die grundlegende Idee dieser Methode zu verstehen. Die Ruffini-Zerlegung basiert auf dem Ruffini’schen Satz, der besagt, dass ein Polynom f(x) genau dann durch einen Faktor (x-a) teilbar ist, wenn f(a) = 0. Mit diesem Satz können wir dann schrittweise die Faktoren eines Polynoms bestimmen.

Hier sind einige Übungen zur Ruffini-Zerlegung, um Ihre Fähigkeiten in dieser Methode zu verbessern:

Übung 1:
Gegeben ist das Polynom f(x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x – 6. Teilen Sie das Polynom schrittweise mit dem Faktor (x-2) und geben Sie die resultierende Zerlegung an.

Lösung: Zuerst verwenden wir den Ruffini’schen Satz, um zu überprüfen, ob (x-2) ein Faktor von f(x) ist. Wir setzen x-2 = 0 und erhalten x = 2. Wenn wir x = 2 in das Polynom einsetzen, müssen wir sicherstellen, dass f(2) = 0 ist. Wir berechnen f(2) und finden heraus, dass f(2) = 0, was bedeutet, dass (x-2) ein Faktor von f(x) ist. Wir führen nun die Polynomdivision durch und erhalten f(x) = (x-2)(2x^2 + 9x + 3).

Übung 2:
Lösen Sie das Gleichungssystem mit Hilfe der Ruffini-Zerlegung:
2x + 3y = 7
4x + 5y = 13

Lösung: Um das Gleichungssystem mit der Ruffini-Zerlegung zu lösen, müssen wir zunächst die Koeffizienten vor den Variablen bestimmen. Das Gleichungssystem kann als Polynomgleichung betrachtet werden, indem wir x als Variable und y als Konstante behandeln. Wir erhalten das Polynom f(x) = (2x + 3y) – 7 und f(x) = (4x + 5y) – 13. Nun zerlegen wir beide Polynome mit Hilfe der Ruffini-Zerlegung und erhalten f(x) = 2(x – 2) und f(x) = 5(x – 1). Daraus folgt, dass x = 2 und x = 1. Wir setzen diese Werte nun in das ursprüngliche Gleichungssystem ein, um y zu bestimmen. Damit erhalten wir y = 1 und y = 2. Somit lautet die Lösung des Gleichungssystems (x, y) = (2, 1) und (1, 2).

Übung 3:
Teilen Sie das Polynom f(x) = 4x^4 – 6x^3 + 2x^2 – 9x + 3 durch den Faktor (2x-1) und bestimmen Sie die resultierende Zerlegung.

Lösung: Wir überprüfen zunächst mit dem Ruffini’schen Satz, ob (2x-1) ein Faktor von f(x) ist. Wir setzen 2x-1 = 0 und erhalten x = 1/2. Wenn wir x = 1/2 in das Polynom einsetzen, müssen wir sicherstellen, dass f(1/2) = 0 ist. Nach Berechnung finden wir heraus, dass f(1/2) = 0, was bedeutet, dass (2x-1) ein Faktor von f(x) ist. Wir führen nun die Polynomdivision durch und erhalten f(x) = (2x-1)(4x^3 – 5x^2 + 3x – 3/2).

Die Ruffini-Zerlegung ist eine wichtige Methode, die uns hilft, komplexe Polynomgleichungen leichter zu lösen und zu verstehen. Durch regelmäßige Übung können wir unsere Fähigkeiten in der Anwendung dieser Methode verbessern und unsere mathematischen Fähigkeiten insgesamt stärken.