Übungen zu logarithmischen Ungleichungen

Logarithmische Ungleichungen sind eine wichtige und häufig verwendete mathematische Methode, um Ungleichheiten zu lösen, bei denen der Logarithmus einer Variablen oder eines Ausdrucks auf beiden Seiten der Ungleichung vorhanden ist. In diesem Artikel werden wir uns mit einigen Übungen zu logarithmischen Ungleichungen befassen, um Ihnen zu helfen, Ihr Verständnis und Ihre Fähigkeiten in diesem Bereich zu verbessern.

Übung 1:
Lösen Sie die logarithmische Ungleichung log(x + 2) < log(3x - 1). Um diese Ungleichung zu lösen, müssen wir die Eigenschaften des Logarithmus kennen. Die Grundregel des Logarithmus besagt, dass log(a) < log(b) genau dann gilt, wenn a < b. Daher können wir die Ungleichung umschreiben und erhalten x + 2 < 3x - 1. Jetzt lösen wir nach x auf: 2x > 3,
x > 3/2.

Daher ist die Lösungsmenge dieser Ungleichung x > 3/2.

Übung 2:
Lösen Sie die logarithmische Ungleichung log2(x – 4) > log2(x – 2).

Wie in der vorherigen Übung verwenden wir die Eigenschaften des Logarithmus und haben log2(x – 4) > log2(x – 2) => x – 4 > x – 2.

In diesem Fall können wir feststellen, dass die Ungleichung nicht erfüllt werden kann, da x – 4 immer kleiner als x – 2 ist. Daher hat diese logarithmische Ungleichung keine Lösung.

Übung 3:
Lösen Sie die logarithmische Ungleichung log3(2x + 1) ≥ log3(x + 5).

Um diese Ungleichung zu lösen, müssen wir erneut die Eigenschaften des Logarithmus verwenden und haben log3(2x + 1) ≥ log3(x + 5) => 2x + 1 ≥ x + 5.

Jetzt lösen wir nach x auf:
x ≥ 4.

Daher ist die Lösungsmenge dieser Ungleichung x ≥ 4.

Übung 4:
Lösen Sie die logarithmische Ungleichung log10(x^2 – 10x) > log10(2x).

In dieser Übung haben wir eine quadratische Funktion im Logarithmus. Um die Ungleichung zu lösen, verwenden wir die Eigenschaften des Logarithmus und haben log10(x^2 – 10x) > log10(2x) => x^2 – 10x > 2x.

Wir bringen alle Terme auf eine Seite und erhalten:
x^2 – 12x > 0.

Jetzt faktorisieren wir:
x(x – 12) > 0.

Die Lösungsmenge dieser Ungleichung ist x > 12 oder x < 0. Beachten Sie jedoch, dass x = 0 keine Lösung ist, da der Logarithmus von 0 nicht definiert ist. Daher ist die Lösungsmenge x > 12.

Diese Übungen sollen Ihnen helfen, Ihre Fähigkeiten bei der Lösung logarithmischer Ungleichungen zu verbessern. Denken Sie daran, die Eigenschaften des Logarithmus zu verwenden und alle Schritte sorgfältig auszuführen, um die richtigen Lösungen zu erhalten. Mit Übung und Geduld können Sie logarithmische Ungleichungen erfolgreich lösen und Ihr mathematisches Verständnis erweitern.