Übungen zu linearen trigonometrischen Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen beschäftigen sich mit den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Eine lineare trigonometrische Gleichung enthält trigonometrische Funktionen, die linear miteinander verbunden sind. In diesem Artikel werden wir uns einige Übungen zu linearen trigonometrischen Gleichungen ansehen.

Beispiel 1:

Lösen Sie die Gleichung sin(x) + 2cos(x) = 1 für x im Intervall [0, 2π].

Um diese Gleichung zu lösen, nutzen wir die Identitäten für sin(x) und cos(x):

sin(x) = √(1 – cos^2(x))

cos(x) = √(1 – sin^2(x))

Jetzt setzen wir diese Werte in die Gleichung ein:

√(1 – cos^2(x)) + 2√(1 – sin^2(x)) = 1

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung, um die Quadratwurzeln loszuwerden:

1 – cos^2(x) + 4(1 – sin^2(x)) + 4√(1 – cos^2(x))√(1 – sin^2(x)) = 1

4 – 3cos^2(x) – 4sin^2(x) + 4√(1 – cos^2(x))√(1 – sin^2(x)) = 0

Jetzt nehmen wir an, das 1 – cos^2(x) = a und 1 – sin^2(x) = b. Die Gleichung wird dann zu:

4 – 3a – 4b + 4√ab = 0

Jetzt quadrieren wir beide Seiten der Gleichung erneut:

16 – 24a – 12b + 9a^2 + 16b^2 + 24ab = 0

9a^2 + 16b^2 + 24ab – 24a – 12b + 16 = 0

Jetzt verwenden wir das Verfahren der vollständigen Quadratur, um diese Gleichung zu vereinfachen:

(3a + 4b – 8)(3a – 4b + 2) = 0

Jetzt setzen wir a = 1 – cos^2(x) und b = 1 – sin^2(x) ein und erhalten zwei Gleichungen:

3(1 – cos^2(x)) + 4(1 – sin^2(x)) – 8 = 0

3(1 – cos^2(x)) – 4(1 – sin^2(x)) + 2 = 0

Durch Auflösen dieser Gleichungen erhalten wir zwei Lösungen für x: x = π/3 und x = 5π/3.

Beispiel 2:

Lösen Sie die Gleichung 2sin(x) – cos(x) = 0 für x im Intervall [0, 2π].

Um diese Gleichung zu lösen, stellen wir die Gleichung um:

2sin(x) = cos(x)

Jetzt quadrieren wir beide Seiten:

4sin^2(x) = cos^2(x)

Da die Identität sin^2(x) + cos^2(x) = 1 gilt, haben wir:

4(1 – cos^2(x)) = cos^2(x)

4 – 4cos^2(x) = cos^2(x)

5cos^2(x) = 4

cos^2(x) = 4/5

cos(x) = ±√(4/5)

Daraus folgt:

x = arccos(√(4/5)) = 0.6435 (in Bogenmaß)

oder

x = arccos(-√(4/5)) = 2π – 0.6435 = 5.4980 (in Bogenmaß)

Die Lösungen für x liegen im Intervall [0, 2π].

Dies waren nur zwei Übungen zu linearen trigonometrischen Gleichungen. Um sich besser mit diesem Thema vertraut zu machen, empfiehlt es sich, weitere Übungen zu bearbeiten und die verschiedenen Lösungsverfahren anzuwenden. Mit ausreichender Übung werden Sie in der Lage sein, lineare trigonometrische Gleichungen schnell und effizient zu lösen.