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Die Substitutionsmethode ist eine der effektivsten Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Dabei wird eine Gleichung nach einer Variablen umgestellt und anschließend in eine andere Gleichung eingesetzt. Dadurch lässt sich das Gleichungssystem auf eine einzige Gleichung reduzieren, die dann einfach gelöst werden kann. Im Folgenden werden einige Übungen zur Substitutionsmethode vorgestellt.
Übung 1:
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mithilfe der Substitutionsmethode:
Gleichung 1: 2x + y = 8
Gleichung 2: x – y = 2
Zuerst lösen wir die zweite Gleichung nach x auf:
x = y + 2
Nun setzen wir den Wert von x in die erste Gleichung ein:
2(y + 2) + y = 8
Lösen wir die Klammern auf:
2y + 4 + y = 8
Die beiden y-Terme zusammenfassen:
3y + 4 = 8
Subtrahieren wir 4 von beiden Seiten der Gleichung:
3y = 4
Teilen wir nun beide Seiten der Gleichung durch 3:
y = 4/3
Den Wert für y setzen wir nun in die Gleichung x = y + 2 ein:
x = 4/3 + 2
x = 4/3 + 6/3
x = 10/3
Die Lösung für das lineare Gleichungssystem lautet also x = 10/3 und y = 4/3.
Übung 2:
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mithilfe der Substitutionsmethode:
Gleichung 1: 3x + 2y = 10
Gleichung 2: 4x – y = 2
Wir lösen die zweite Gleichung nach y auf:
y = 4x – 2
Nun setzen wir den Wert von y in die erste Gleichung ein:
3x + 2(4x – 2) = 10
Die Klammer auflösen:
3x + 8x – 4 = 10
Die x-Terme zusammenfassen:
11x – 4 = 10
Addieren wir 4 zu beiden Seiten der Gleichung:
11x = 14
Teilen wir nun beide Seiten der Gleichung durch 11:
x = 14/11
Den Wert für x setzen wir nun in die Gleichung y = 4x – 2 ein:
y = 4(14/11) – 2
y = 56/11 – 2
y = 56/11 – 22/11
y = 34/11
Die Lösung für das lineare Gleichungssystem lautet also x = 14/11 und y = 34/11.
Die Substitutionsmethode ist eine leistungsstarke Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Durch die Umstellung einer Gleichung und das Einsetzen in eine andere Gleichung kann das Gleichungssystem auf eine einzige Gleichung reduziert werden. Diese Methode bietet eine gute Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme schnell und effizient zu lösen. Mit ausreichend Übung und Kenntnissen in der Anwendung der Substitutionsmethode lassen sich auch komplexere Gleichungssysteme problemlos lösen.
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