Übungen zu linearen Systemen mit zwei Unbekannten mit Lösungen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten sind ein grundlegendes Thema in der linearen Algebra. In diesem Artikel werden wir uns mit einigen Übungen zu diesem Thema befassen und Lösungen dazu präsentieren.

1. Beispiel:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
2x + 3y = 7
4x – 2y = 10

Zunächst können wir versuchen, das System durch Addition oder Subtraktion der Gleichungen zu vereinfachen. Indem wir die zweite Gleichung von der ersten abziehen, erhalten wir:
(2x + 3y) – (4x – 2y) = 7 – 10
-2x + 5y = -3

Wir haben nun ein neues lineares Gleichungssystem:
2x + 3y = 7
-2x + 5y = -3

2. Beispiel:

Betrachten wir das Gleichungssystem:
3x + 2y = 12
5x – 4y = 6

Wir können dieses System mit der Methode der Substitution lösen. Dazu isolieren wir zunächst eine Variable in einer der beiden Gleichungen. In diesem Fall isolieren wir x in der ersten Gleichung:
3x = 12 – 2y
x = (12 – 2y) / 3

Nun substituieren wir den Ausdruck für x in die zweite Gleichung:
5((12 – 2y) / 3) – 4y = 6

Um den Ausdruck zu vereinfachen, multiplizieren wir zuerst beide Seiten der Gleichung mit 3:
5(12 – 2y) – 12y = 18

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir:
60 – 10y – 12y = 18
-22y = -42
y = 2

Nun substituieren wir den Wert für y in die erste Gleichung:
3x + 2(2) = 12
3x + 4 = 12
3x = 8
x = 8 / 3

Die Lösung des Gleichungssystems ist also x = 8/3 und y = 2.

3. Beispiel:

Wir betrachten das Gleichungssystem:
x + y = 5
2x – 3y = 4

Um dieses System zu lösen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3, um die Koeffizienten der y-Variable anzugleichen:
3(x + y) = 3(5)
3x + 3y = 15

Wir erhalten nun ein neues System:
3x + 3y = 15
2x – 3y = 4

Indem wir die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren, erhalten wir:
(3x + 3y) – (2x – 3y) = 15 – 4
x + 6y = 11

Nun haben wir ein einfacheres System:
x + 6y = 11
2x – 3y = 4

Durch Subtraktion von 2 mal der ersten Gleichung von der zweiten können wir x isolieren:
2x – 3y – 2(x + 6y) = 4 – 2(11)
2x – 3y – 2x – 12y = 4 – 22y
-15y = -22
y = -22 / -15
y = 22 / 15

Nun substituieren wir den Wert für y in die erste Gleichung:
x + 6(22 / 15) = 11
x + 44/5 = 55/5
x = 55/5 – 44/5
x = 11/5

Die Lösung des Gleichungssystems ist x = 11/5 und y = 22/15.

Dies waren einige Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten. Durch das Lösen solcher Übungen können wir unsere mathematischen Fähigkeiten in der linearen Algebra verbessern und ein tieferes Verständnis für lineare Systeme entwickeln.